$a_(n+1)=7^(a_n)$

[anto_zoolander]

Ciao mi sto esercitando un po' con le congruenze e cercando qualche esercizio, ho trovato questo:

definita la seguente successione ricorsiva:

${(a_1=7),(a_(n+1)=7^(a_n)):}$

dire qual è la prima cifra delle unità di $a_(2014)$

in realtà è molto semplice concettualmente, però ho fatto un passaggio su cui ho qualche perplessità.

sviluppando i primi termini si ottiengono i seguenti risultati:

${(a_2=7^7),(a_3=7^(7^7)),(...):}$

beh la torre di $a_2$ è composta da un elemento, di $a_3$ da due elementi.. $a_(2014)$ da duemilatredici elementi

dunque equivale al trovare $[7^(7^(7^(...^7)))]_10$. Io intanto so che:

$7^4equiv1(mod10)$

dunque procedo così: prendo la torre $7^(7^(...^7))$ e noto che è un numero dispari, poiché potenza di un numero dispari. Inoltre $7equiv-1(mod4)$ \(\displaystyle \Longrightarrow \) $7^(7^(...^7))equiv-1(mod4)$ ovvero

$7^(7^(...^7))=4k-1=4(k-1)+3$

dunque esisterà un certo $k$ tale che è vera quella uguaglianza, allora scrivo questo:

$[7^(7^(7^(...^7)))]_10=[7^(4(k-1)+3)]_10=[1*7^3]_10=[343]_10=[3]_10$

ovvero $3$ è la cifra delle unità. Secondo voi è corretto?

[Vincent46]

sì, mi sembra giusto

[consec]

Alternativamente lo dimostravi per induzione:
Proposizione: ogni termine $a_i$ della successione con $i>1$ è congruo a $3mod10$ e $3mod4$ (in pratica può essere scritto come $4z+3$ per $z$ appartenente a $NN$ e $10k+3$ per qualche $k$ pari appartenente a $NN$)
Per $a_2=7^7$ è verificata.
Supponiamo sia valida per $a_n$, allora $a_(n+1)=7^(a_n) -= 7^(10k+3) -= (7^10)^k*7^3 -= (-1)^k*7^3= 1*7^3 -= 3mod10$
e $a_(n+1)=7^(4z+3)-=(7^4)^z*7^3-=(1)^z*7^3-=1*7^3-= 3mod4$

Puoi anche dimostrare che la penultima cifra è 4
$a_2-=43mod100 = 100k+43$
$a_(n+1)=7^(a_n)=7^(100k+43)=(7^4)^(25k)*(7^4)^10*7^3-=1*1*7^3-=43mod100$

[Erasmus_First]

"anto_zoolander":... qual è la prima cifra delle unità di $a_(2014)$

???
Cosa vuol dire "prima cifra delle unità"?
$a_2014$ è un numero intero. Supposto che sia rappresentato in base 10, avrà un'ultima cifra che ovviamente è
$a_2014$ mod $10$,
ed una prima cifra.
Suppongo, ancora, che per "unità" si intenda proprio l'ultima cifra.
[Alle elementari mi insegnavano a pensare un numero grosso come somma di unità, decine, centinaia, migliaia. ecc.]
Interpreto dunque che ci sia da trovare «l'ultima cifra, quella delle unità».

Non ho mai fatto un esercizio come questo.
Vado di testa mia ... e se ripeto quello che altri già ha trovato chiedo scusa.

Provando le potenze di 7 si scopre che l'ultima cifra cambia periodicamente con sole 4 possibilità. Cioè:
Le potenze di 7 modulo 10 sono periodiche di periodo 4.
$7^0 mod 10 = 1$
$7^1 mod 10 = 7$
$7^2 mod 10 = 9$
$7^3 mod 10 = 3$
$7^4 mod 10 = 1$
ecc.
Allora:
$a_2 mod 10 = 7^7$ mod $10 = 7^3$ mod $10 = 3 = -7$ mod $10$;
$a_3 mod 10 = 3^7$ mod $10 = 7 = -3$ mod $10$;
$a_4 mod 10 = 7^7$ mod $10 = 3 = -7$ mod $10$;
ecc.
Si scopre, cioè, che $a_n$ mod $10$ è periodico di periodo 2.
Se $n$ è pari vale 3, se n è dispari vale 7.

____

[anto_zoolander]

Si ho sbagliato a scrivere era 'la cifra delle unità' e stop.