$(8^n - 2^n)/(6^n - 3^n)=2$ sugli interi

[Gi81]

Dimostrare che l'unica soluzione intera dell'equazione $(8^n - 2^n)/(6^n - 3^n)=2$ è $n=1$

[axpgn]

$((2^n)^3-2^n)/(2^n*3^n-3^n)=2$

$(2^n((2^n)^2-1))/(3^n(2^n-1))=2$

$(2^n(2^n-1)(2^n+1))/(3^n(2^n-1))=2$

$(2^n(2^n+1))/3^n=2$

$2^(n-1)(2^n+1)=3^n$

Ma per $n>=2$ abbiamo che $2^n+1$ non è divisibile per $3^n$ (se vuoi lo dimostro )

Cordialmente, Alex

[Gi81]

@axpgn:

...quindi se $n>=2$ non ci sono soluzioni. e se $n<=0$?

[axpgn]

Se $n=0$ allora $0/0=2$

Se $n<0$ pongo $m = -n$ e quindi [size=150]$((1/2^m)^3-1/2^m)/(1/2^m*1/3^m-1/3^m)=2$[/size]

Pongo $k=1/2^m, h=1/3^m$ e quindi $(k(k^2-1))/(h(k-1))=2$ da cui $(k(k-1)(k+1))/(h(k-1))=(k(k+1))/h=2$

Ne segue che $3^m/2^m*(k+1)=2\ ->\ 3^m*(k+1)=2^(m+1)$

Siccome $k+1=1/2^m+1=(1+2^m)/2^m$ allora $3^m*(1+2^m)/2^m=2^(m+1)$ da cui $3^m*(1+2^m)=2^m*2^(m+1)$

Pari da una parte, dispari dall'altra, nessuna soluzione.

IMHO

Cordialmente, Alex

[giammaria2]

Nell'ipotesi che $n$ sia un numero naturale, la conclusione del ragionamento di axpgn può essere abbreviata nel modo che indicherò; aggiungo la dimostrazione che nell'intero campo reale l'equazione non ha altre soluzioni.

Il CE dell'equazione data è $6^n!=3^n->n!=0$; quindi questo valore, pur essendo soluzione di
$2^(n-1)(2^n+1)=3^n$, on è accettabile.

Soluzione in campo naturale.
Il secondo membro dell'ultima equazione è dispari, quidi anche il primo deve esserlo; per $n$ naturale e diverso da zero, la parentesi lo è e deve esserlo anche l'altro fattore; occorre quindi che sia $2^(n-1)=1->n-1=0->n=1$


Soluzione in campo reale.
L'ultima equazione può essere scritta cone
$(2/3)^n(2^n+1)=2$
e le soluzioni sono date dall'intersezione della retta $y=2$ con la curva
$y=f(n)=(2/3)^n(2^n+1)=(4/3)^n+(2/3)^n$
Studiando questa curva, sappiamo già che passa per i punti $(0,2)$ e $(1,2)$ e calcoliamo che $lim_(n->+-oo)f(n)=+oo$. Cercando i punti di stazionarietà abbiamo l'equazione

$(4/3)^n ln(4/3)+(2/3)^nln(2/3)=0->(4/3*3/2)^n ln (4/3)+ln(2/3)=0->$
$" "->2^n ln(4/3)+ln (2/3)=0$
che ammette un'unica soluzione; c'è quindi un unico punto di stazionarietà e deve essere un minimo, con $0

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