3 quesiti da risolvere velocemente!

[Pianoth]

[list=1]
[*:37f23yj0]Molti matematici ritengono che il numero $42$ abbia poche proprietà matematiche interessanti, eppure è la risposta alla domanda fondamentale sulla vita, l'universo e tutto quanto...
$$\text{Calcolare } \sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\sqrt{42+\ldots}}}}}$$[/*:m:37f23yj0]
[*:37f23yj0]Calcolare quante sono le partizioni di $10$.[/*:m:37f23yj0]
[*:37f23yj0]Quali valori può assumere il raggio di un cilindro la cui superficie totale misura $3528 pi$?[/*:m:37f23yj0][/list:o:37f23yj0]

Nota: qualunque metodo di risoluzione è valido, purché sia sensato e sia motivato adeguatamente. Non è assolutamente necessaria la calcolatrice (la sconsiglio, dato che sono problemi molto semplici), ma è consentita.
Per chi non sa cos'è la partizione di un intero lo può vedere sulla wiki (linkata).

[size=120]Buon divertimento![/size]

[@melia]

7, 42, 42

[robbstark1]

Comincio dal secondo:

Sparo a caso: 42?
Per essere sicuro di contarle tutte:
partizioni con 10 pezzi:
$1+1+1+1+1+1+1+1+1+1$
partizioni con 9 pezzi:
$1+1+1+1+1+1+1+1+2$
partizioni con 8 pezzi:
$1+1+1+1+1+1+1+3$
$1+1+1+1+1+1+2+2$
partizioni con 7 pezzi:
$1+1+1+1+1+1+4$
$1+1+1+1+1+2+3$
$1+1+1+1+2+2+2$
partizioni con 6 pezzi:
$1+1+1+1+1+5$
$1+1+1+1+2+4$
$1+1+1+1+3+3$
$1+1+1+2+2+3$
$1+1+2+2+2+2$
partizioni con 5 pezzi:
$1+1+1+1+6$
$1+1+1+2+5$
$1+1+1+3+4$
$1+1+2+2+4$
$1+1+2+3+3$
$1+2+2+2+3$
$2+2+2+2+2$
partizioni con 4 pezzi:
$1+1+1+7$
$1+1+2+6$
$1+1+3+5$
$1+1+4+4$
$1+2+2+5$
$1+2+3+4$
$1+3+3+3$
$2+2+2+4$
$2+2+3+3$
partizioni con 3 pezzi:
$1+1+8$
$1+2+7$
$1+3+6$
$1+4+5$
$2+2+6$
$2+3+5$
$2+4+4$
$3+3+4$
Partizioni con 2 pezzi:
$1+9$
$2+8$
$3+7$
$4+6$
$5+5$
Partizioni con 1 pezzo:
$10$
Dunque $1+1+2+3+5+7+9+8+5+1=42$.
Purtroppo non credo che esista un metodo facile per contare le partizioni di $n$, anche se so che esistono quanto meno delle approssimazioni asintotiche.

[robbstark1]

Il terzo non mi convince:

La superficie totale è:
$S= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r+h)$
Assumo che intendi che il raggio e l'altezza debbano essere interi.
$3528 = 2*42*42$
Ora ci possono essere varie soluzioni, ma se $r=42$ allora $h=0$, che sarebbe un cilindro degenere.

[superpippone]

Per il terzo le soluzioni sono: 1 - 2 - 4 - 21.
Con raggio 42 sarebbe un cilindro con altezza $0$ ovvero un cerchio.

[robbstark1]

Infine il primo:

Si può calcolare come limite di una successione definita per ricorrenza da:
$a_1 = ?$
$a_n = \sqrt{ 42 + a_{n-1}} $
Portando al limite ambo i membri, considerando che la radice quadrata è una funzione continua, quindi il limite si può portare dentro la radice, il limite di $a_{n-1}$ è lo stesso di $a_n$, che chiamo $x$.
Dunque:
$x = \sqrt{42 + x}$
$x^2 - x - 42 = 0$
Quindi $x=7$ o $x=-6$, ma la seconda opzione va esclusa, perchè i termini della successione sono positivi, quindi il limite deve essere positivo.

Prima però andava dimostrato che il limite esiste.
Per questo basta notare che:
Se $a_{n-1} > 7$, allora $a_n < a_{n-1}$, $a_n > 7$. Quindi se $a_1 > 7$ la successione è decrescente e limitata inferiormente da $7$, quindi ammette limite.
$0 a_{n-1}$, $a_n < 7$. Quindi se $0 Se $a_1$ fosse negativo, comunque $a_2$ deve essere positivo, e ci si riconduce a uno dei casi precedenti.
Dunque il limite esiste certamente ed è lo stesso, indipendentemente da $a_1$.

[Pianoth]

Cerco di esprimere meglio la richiesta del terzo: quale insieme di valori può assumere il raggio? (Cioè tipo $0 Per il secondo non esiste nessun modo immediato, ma si può evitare di elencarle tutte e poi contarle.

[Zero87]

Prendo un piccolo suggerimento di robbstark (chi se la ricordava la formula della superficie totale del cilindro?!?)

"robbstark":

La superficie totale è:
$S= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r+h)$...

Comunque, vado di mio.

Come osserva Robbstark ma io vado un pizzichino avanti
$3528=2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2$.
Prendiamo la formula
$S=2 \pi r (r+h)$
Tolgo direttamente il $\pi$ che mi dà fastidio, dunque si tratta di trovare tutte le soluzioni intere - suppongo - dell'equazione
$2r (r+h)=3528$
ovvero
$r(r+h)=1764$ tra l'altro $1764=42^2$ tanto per restare in tema.

Non so come vanno risolte equazioni intere del genere, ma mi organizzo: posso osservare che $r$ e $r+h$ siano obbligatoriamente divisori di $1764$.

Ora quali sono i divisori di $1764$?
$1,2,3,4,6,7,9,12,14,18,21,28,36,42,49,63,84,98,126,147,196,252,294,441,588,882,1764$
Essi sono 27.
Ne scelgo uno e lo chiamo $d$, dunque $r=d$.
Ottengo $d+h=1764/d$, cioè $h=1764/d-d$. Basta vedere per quali scelte di $d$, si ha $h$ intero positivo.

Mettendo il secondo membro nella forma $\frac{1764-d^2}{d}$ escludo seduta stante tutti quei $d$ che elevati al quadrato sono $\ge 1764$ e dunque tutti i $d$ maggiori o uguali a $42$.

Restano dunque
$1,2,3,4,6,7,9,12,14,18,21,28,36$ e la scelta è minore. Concludo che tutte queste scelte sono plausibili perché se $d<42$ è un divisore ho che $1764/d >d$ ed è un numero intero.
Le possibili scelte di $r$ sono, dunque, 13$.

EDIT
Ho visto che Pianoth ha specificato qualcosa per il terzo dunque la mia soluzione non vale più: però sto scrivendo da un'ora, quindi la lascio!

[Pianoth]

Beh, di certo come lo avete interpretato voi il problema è più interessante!

[robbstark1]

"Zero87":Prendo un piccolo suggerimento di robbstark (chi se la ricordava la formula della superficie totale del cilindro?!?)[quote="robbstark"]

La superficie totale è:
$S= 2 \pi r^2 + 2 \pi r h = 2 \pi r (r+h)$...

[/quote]

Non è che c'è molto da ricordare. Ho sommato due cerchi, cioè le basi, e la superficie laterale, che altro non è che un rettangolo arrotolato.

Per il resto, non ho guardato i conti, ma come procedimento per trovare le soluzioni è giusto.

[Zero87]

"robbstark":Non è che c'è molto da ricordare. Ho sommato due cerchi, cioè le basi, e la superficie laterale, che altro non è che un rettangolo arrotolato.

Giusto, però ho trovato comunque la tua formula... perciò grazie!

[Caenorhabditis]

42 è un numero di Catalan (il sesto, per la precisione), e ciò permette di infilarlo in una varietà di situazioni. Ad esempio, in quanti diversi modi puoi suddividere in triangoli un ettagono?