$2n+3$ punti

[xXStephXx]

Sono decisamente vecchi, forse già messi, ma entrambi belli

1) Dimostrare che dati $n+3$ punti nel piano, i punti medi distinti dei segmenti che uniscono le coppie di questi punti sono almeno $2n+3$.

2) Dimostrare che dati $2n+3$ punti nel piano, senza quadrilateri inscrivibili e senza terne di punti allineati, è possibile tracciare una circonferenza passante per $3$ di questi punti in modo che ci siano $n$ punti dentro la circonferenza ed $n$ punti fuori.

[xXStephXx]

Nessuno dei due è troppo impegnativo eh... Nel primo i $2n+3$ punti medi possono essere trovati in tanti modi senza troppa accortezza

[Thomas16]

Provo a rispondere al secondo. Prendiamo l'inviluppo convesso dei punti, che sarà costituito da una figura convessa di $k$ lati.
Scegliamo uno a caso di questo lati e così troviamo due punti, A e B, tali che la retta passante per AB divide il piano in due semipiani, uno con $2n+1$ punti ed uno senza punti.

A questo punto abbiamo $2n+1$ angoli AXB, con X che varia tra i $2n+1$ punti, che possiamo elencare in ordine di grandezza: $AX_1B

Cita

Segnala

[xXStephXx]

Si bene