$2^a-7^b5^c=1$

[Alessandro Preti]

Buondì ! Stavo tentando di risolvere questo problema e mi servirebbe aiuto su un passaggio.
Il quesito dice : data l'equazione sopra riportata trovare 3 interi (escluse le soluzioni con 0 e 1) tali che risulti vera l'eguaglianza $2^a-3^b5^c=1$
Il primo passo che ho fatto è stato riscrivere la formula così $2^a-1=7^b5^c$ e si nota come a destra avremo un numero che finisce sempre in 5 o 0, mentre a sinistra avremo come numero finale 1,3,7,5. Le uniche soluzioni accettate sono quelle con 5 come numero finale, di conseguenza si può scrivere come $2^(4n)-1=5^b7^c$ che si può scomporre in $(2^n-1)(2^n+1)(2^(2n)+1)=5^b7^c$. A questo punto il mio unico problema sarebbe dimostrare che almeno uno dei tre termini non è divisibile per gli altri due, cosi da far capire che ci sono più di due fattori e di conseguenza negare l'esistenza di una soluzione (proprio perchè a destra abbiamo un numero composto da solo due fattori $5*5....5*5*7*7....7*7$). Pensate sia fattibile o esiste un modo migliore per risolverlo? Grazie in anticipo!!

[@melia]

3 o 7?

[Alessandro Preti]

pardon!! 7

[consec]

Ho un abbozzo di soluzione ma non sono sicuro vada bene

Ovviamente la scrittura $2^a=2^(4n)$ è valida solo se il membro a destra è multiplo di $5$, quindi con $b>1$, anche perché è scontato che $2^3-5^0*7^1=1$, ma il problema specifica che le soluzioni contenenti $0$ e $1$ non vanno considerate. Detto questo, si ponga
$2^n-1=5^(\alpha_1)7^(\beta_1)$
$2^n+1=5^(\alpha_2)7^(\beta_2)$
$2^(2n)+1=5^(\alpha_3)7^(\beta_3)$
con
$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=b$ e $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 >= 0 in NN$
$\beta_1+\beta_2+\beta_3=c$ e $\beta_1, \beta_2, \beta_3 >= 0 in NN$

Poiché $2^n+1>2^n-1$, allora $5^(\alpha_2)7^(\beta_2)>5^(\alpha_1)7^(\beta_1)$
Ma $2^n-1+2=2^n+1$, quindi $5^(\alpha_1)7^(\beta_1)+2=5^(\alpha_2)7^(\beta_2)$
Non consideriamo il caso in cui $\alpha_1$ e $\beta_1$ sono entrambi nulli perché porterebbe a soluzioni che rifiutiamo perché banali. Se invece $\alpha_1$ e $\beta_1$ fossero contemporaneamente $>=1$, allora il secondo membro essendo più grande dovrebbe essere al minimo $5*5^(\alpha_1)7^(\beta_1)$ e $x+2<5x$ nei naturali.
Di conseguenza affinché l'equazione sia verificata almeno uno tra $\alpha_1$ e $\beta_1$ deve essere uguale a zero.
Consideriamo ora $2^n-1=5^(\alpha_1)7^(\beta_1)$. I casi $2^n-1=5$ $2^n-1=7$ non hanno soluzioni in $NN$ o non sono compatibili con le altre equazioni. I casi $2^n-5^(\alpha_1)=1$ e $2^n-7^(\beta_1)=1$ con $\alpha_1$ e $\beta_1$ $>1$sono invece impossibili perché non esistono potenze consecutive diverse da $3^2$ e $2^3$.
Di conseguenza non abbiamo soluzioni non banali.

[Pachisi]

Continuando da $(2^n-1)(2^n+1)(4^(2n)+1)=5^b7^c$, notiamo che $4^(2n)+1=16^n+1$ termina sempre per $7$, quindi non è divisibile per $5^b$. Abbiamo anche $16^n+1 \equiv 2^n+1 (mod 7)$. Ma $2^n \equiv 1,2,4 (mod 7)$, quindi $2^n+1$ non è mai congruo a $0 (mod 7)$. Quindi, $4^(2n)+1$ non è divisibile per $5^b7^c$. Quindi, il membro sinistro deve avere altri fattori primi, il che è impossibile essendo $5$ e $7$ gli unici fattori primi presenti nel membro destro.