1996 CHICAGO AREA ALL-STAR MATH TEAM TRYOUTS

[Sdavas]

Ho riscontrato un problema nel "1996 CHICAGO AREA ALL-STAR MATH TEAM TRYOUTS", numero 8.

"Il triangolo acutangolo ABC è inscritto in un cerchio. Le altezze AM e CN sono estese per incontrare il cerchio
rispettivamente in P e Q. Se PQ:AC = 7:2, trovare sin∠ABC."

Lascio la figura in allegato (i valori angolari sono solo indicativi).

L'angolo ABC è uguale all'angolo AQC perché insistono sullo stesso arco. Se D è l'ortocentro, l'angolo ABD è uguale a PQC. L'angolo ABC è uguale all'angolo APC. Quindi l'angolo QCP è [180°-(2xAPC)], e quindi QCP è [180°-(2xABC)].
Quindi PQ è 2rsin(180°-(2xABC)) e AC è 2rsin(ABC).
Se uso la relazione data dal testo, la trovo
sin(2xABC):sin(ABC)=7:2 ,
2sin(ABC)cos(ABC):sin(ABC)=7:2,
cos(ABC) = 7:4, che è impossibile.
La risposta indicata è 1/8.
È un errore nel testo del problema o sbaglio io?
Se qualcuno potesse provare il problema e trovare l'errore, gli sarei molto grato.
Grazie in anticipo.

[dan952]

Perché $QCP=180°-2APC$?

[Sdavas]

Grazie per l'interessamento.
Ho considerato il triangolo PDC che è isoscele perchè DM = MP e MC è altezza relativa a DP.
D è ortocentro e quindi il suo simmetrico rispetto ai lati appartiene alla circonferenza circoscritta.
L'angolo DPC è uguale all'angolo CDP.
L'angolo APC (e quindi DPC) è uguale all'angolo AQC perchè insistono sullo stesso arco.
Quindi DCP = 180 - CDP - DPC =180 - 2 x DPC. [DPC = APC perchè A, D e P sono allineati e DCP = QCP perchè Q, D e C sono allineati.]
Buona giornata