Zero di funzione
Devo calcolare gli zeri della funzione
[tex]\displaystyle f_{(x)}=\sqrt[3]{x}+x^3-1[/tex]
Il mio dubbio è : come faccio a determinare l'intervallo [a,b] in cui la funzione cambia segno ?
Essendo la funzione definita in tutto R come faccio a stabilire l'intervallo su cui poi applicare la bisezione ?
[tex]\displaystyle f_{(x)}=\sqrt[3]{x}+x^3-1[/tex]
Il mio dubbio è : come faccio a determinare l'intervallo [a,b] in cui la funzione cambia segno ?
Essendo la funzione definita in tutto R come faccio a stabilire l'intervallo su cui poi applicare la bisezione ?
Risposte
La funzione è continua su tutto il dominio. Inoltre
[tex]f'(x) = \displaystyle\frac{1}{3x^{2/3}} +3x^2 \geq 0 \forall x[/tex] poiché somma di quantità positive. Dunque la funzione è continua e monotona crescente, perciò può avere al massimo uno [tex]0[/tex].
Ora, guardando cosa accade ai limiti per [tex]x\to\pm\infty[/tex] vediamo che ha uno zero per forza. Ora, a tentoni, trova due punti [tex]a,b[/tex] con [tex]f(a)<0, f(b)>0[/tex].
Paola
[tex]f'(x) = \displaystyle\frac{1}{3x^{2/3}} +3x^2 \geq 0 \forall x[/tex] poiché somma di quantità positive. Dunque la funzione è continua e monotona crescente, perciò può avere al massimo uno [tex]0[/tex].
Ora, guardando cosa accade ai limiti per [tex]x\to\pm\infty[/tex] vediamo che ha uno zero per forza. Ora, a tentoni, trova due punti [tex]a,b[/tex] con [tex]f(a)<0, f(b)>0[/tex].
Paola
Ora, a tentoni, trova due punti [tex]a,b[/tex] con [tex]f(a)<0, f(b)>0[/tex].
Quindi bisogna procedere per tentativi già in partenza ?
Mi è venuto un'altro dubbio. Il teorema di Bolzano (o degli zeri) dice che se [tex]f_{(a)} \cdot f_{(b)} < 0[/tex] allora esiste almeno uno zero.
Questo accade quando una delle 2 funzioni è negativa, se io considero per esempio la funzione [tex]f_{(x)}= -x^2-x[/tex], parabola con concavità verso il basso (e due zeri) e prendo l'intervallo [-2,1] avrò due valori della funzione negativi, quindi il loro prodotto è positivo e potrei pensare che non ci sono zeri nell'intervallo, o no ?
(prescindendo dal fatto che questa è una parabola e che si può facilmente calcolare tutto il calcolabile) [/quote]
Sul primo problema: non importa quali punti [tex]a,b[/tex] prendi, tanto il metodo di bisezione converge. Con l'analisi che ti ho fatto hai la certezza di trovarli due punti così, devi solo cercarteli e non c'è altro modo che andare a tentoni se il libro non ti dà l'intervallo.
Sulla seconda questione ti stai confondendo con le implicazioni: tu sai che
(ipotesi di Bolzano)[tex]\Rightarrow[/tex](la funzione ha almeno uno 0 nell'intervallo).
Da questo non puoi logicamente ricavare ciò che dici te ovvero:
NOT (ipotesi di Bolzano [tex]\Rightarrow[/tex] NOT(la funzione ha almeno uno 0 nell'intervallo)
Stai facendo l'errore logico di pensare che [tex]A\Rightarrow B[/tex] equivalga a [tex]\neg A\Rightarrow \neg B[/tex], che è falso!
Forse ti confondi con l'equivalenza logica di [tex]A\Rightarrow B[/tex] e [tex]\neg B\Rightarrow \neg A[/tex] .
Paola
Sulla seconda questione ti stai confondendo con le implicazioni: tu sai che
(ipotesi di Bolzano)[tex]\Rightarrow[/tex](la funzione ha almeno uno 0 nell'intervallo).
Da questo non puoi logicamente ricavare ciò che dici te ovvero:
NOT (ipotesi di Bolzano [tex]\Rightarrow[/tex] NOT(la funzione ha almeno uno 0 nell'intervallo)
Stai facendo l'errore logico di pensare che [tex]A\Rightarrow B[/tex] equivalga a [tex]\neg A\Rightarrow \neg B[/tex], che è falso!
Forse ti confondi con l'equivalenza logica di [tex]A\Rightarrow B[/tex] e [tex]\neg B\Rightarrow \neg A[/tex] .
Paola
Capito, Grazie.
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