$y=x^4-kx^2$

[nato_pigro1]

Studiare
$y=x^4-kx^2$
distinguendo i vari casi, a seconda dei valori assunti dal paramentro reale $k$. In particolare si calcoli il minimo della funzione per ogni valore di k.

Come faccio a sapere quali sono gli intervalli in cui devo studiare $k$?

[Paolo902]

"nato_pigro":
Come faccio a sapere quali sono gli intervalli in cui devo studiare $k$?

Non sono cisuro di ciò che ti sto per dire, però, visto che la funzione è definita sull'intero campo reale (e per di più anche $k$ può assumere qualsiasi valore in $RR$) direi che potresti iniziare a fare qualche considerazione sui punti di intersezioni della $f(x)$ con gli assi (magari a seconda di come varia $k$ varia il numero di intersezioni con un asse...); poi passerei ad analizzare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione (derivata prima) e della concavità/convessità (derivata seconda); infine, si potrebbe ragionare un po' su massimi e minimi di questa funzione (così ad occhio direi che dipendono anche loro da $k$, visto che $f'(x)=4x^3-2kx$).

Ripeto, non sono sicuro se ciò che ti ho detto ti porti a dei risultati, magari dopo se ho un po' di calma provo e ti faccio sapere.

Ciao, Paolo

[Sk_Anonymous]

Il ragionamento di Paolo è corretto e fila perfettamante

[Paolo902]

"amelia":Il ragionamento di Paolo è corretto e fila perfettamante

Ti ringrazio molto, Amelia. La tua approvazione fa sempre piacere.

Grazie,

Paolo

[nato_pigro1]

si, grazie, però mi aspettavo qualche cosa di più preciso (comunque grazie )

cioè, io avevo fatto
$y=x^2(-k+x^2)$ e le intersezioni sono in $x=0, +-rad(k)$

però poi? gli intervalli quali sono?

[Paolo902]

"nato_pigro":si, grazie, però mi aspettavo qualche cosa di più preciso (comunque grazie )

cioè, io avevo fatto
$y=x^2(-k+x^2)$ e le intersezioni sono in $x=0, +-rad(k)$

però poi? gli intervalli quali sono?

I Romani avrebbero etichettato questo come un caso di nomen omen (cioè un caso in cui il nome di una persona dice già qualcosa della sua personalità o carattere (... )) Perdona la battuta idiota, nato_pigro, volevo solo scherzare.

Comunque, forza, che non è difficile. Vediamo un po':
$y=x^4-kx^2$

Intersezioni con asse $x$, cioè $y=0$:

${[y=x^4-kx^2],[y=0]:}$
$x^4-kx^2=0$
Questa equazione evidentemente ammette come soluzioni $x=0$ (molteplicità due), $x=+-sqrtk$. Dunque, se $k>=0$ le intersezioni sono tre, e precisamente $O(0,0)$,$A(+sqrtk,0)$,$(-sqrtk,0)$. Se invece $k<0$? Cosa mi sai dire di quel radicale? Esiste? E i punti di intersezione allora?
Le intersezioni con l'asse $y$ ($x=0$) non sono così importanti, visto che in ogni caso per $x=0$ ho $y=0$ (e con questo sei già in grado di dire che $\forall k in RR$ la curva passa per $O(0,0)$).

Intervalli di crescenza e decrescenza della funzione, cioè studio della derivata prima

Si ha $f'(x)=4x^3-2kx=2x(x^2-2k)$. Studia il segno di questa espressione (analizzando separatamente i segni dei due fattori da cui è composto) e scoprirai che dipende dal parametro $k$ (anche qui se è positivo succede qualcosa, se è negativo invece...).

Nato_pigro, lascio a te anche lo studio del segno della derivata seconda. Se hai ancora bisogno sai dove trovarci. Buon lavoro.

Paolo