Voume del segmento sferico
Riporto integralmente il testo del quesito che mi ha creato qualche problema oggi pomeriggio:
Come si sa, la parte di sfera compresa fra due piani paralleli che la secano si chiama segmento sferico a due basi. Indicati con $r_1$ ed $r_2$ i raggi delle due basi del segmento sferico e con $h$ la sua altezza (distanza tra le basi), dimostrare che il volume $V$ del segmento sferico considerato è dato dalla seguente formula: $V=1/6*pi*h(h^2+3r_1^2+3r_2^2)$.
Avevo pensato di disegnare una circonferenza con centro nell'origine e raggio parametrico $gamma$ e poi calcolare l'integrale di rotazione, ma non sono arrivato molto lontano. Qualcuno mi da una dritta?
Come si sa, la parte di sfera compresa fra due piani paralleli che la secano si chiama segmento sferico a due basi. Indicati con $r_1$ ed $r_2$ i raggi delle due basi del segmento sferico e con $h$ la sua altezza (distanza tra le basi), dimostrare che il volume $V$ del segmento sferico considerato è dato dalla seguente formula: $V=1/6*pi*h(h^2+3r_1^2+3r_2^2)$.
Avevo pensato di disegnare una circonferenza con centro nell'origine e raggio parametrico $gamma$ e poi calcolare l'integrale di rotazione, ma non sono arrivato molto lontano. Qualcuno mi da una dritta?
Risposte
Magari non porta da nessuna parte, però hai pensato di prendere tutta la sfera e di sottrarre il volume della calottona sotto e della calottina sopra?
Non mi ricordo ora, ma se non erro le formule per il calcolo della calotta sferica erano "piuttosto" semplici.
Non mi ricordo ora, ma se non erro le formule per il calcolo della calotta sferica erano "piuttosto" semplici.
Con o senza integrali doppi ( - immagino senza, considerata la sezione, ma non si sa mai...)?
Però ho problemi con gli estremi di integrazione, nel senso che per fare la rotazione devo avere in asse x la distanza tra i due piani $h$, come può quindi il risultato essere in funzione di $r_1$ e $r_2$?
Direi senza, è un quesito della maturità e direi che non sono compresi.
"Delirium":
Con o senza integrali doppi ( - immagino senza, considerata la sezione, ma non si sa mai...)?
Direi senza, è un quesito della maturità e direi che non sono compresi.
"burm87":
[quote="Delirium"]Con o senza integrali doppi ( - immagino senza, considerata la sezione, ma non si sa mai...)?
Direi senza, è un quesito della maturità e direi che non sono compresi.[/quote]
Un punto a favore per me...
Comunque correggo: mi sa che è meglio sottrarre la calottina superiore alla calotta (pongo $r_2>r_1$ ma non cambia molto se fosse il contrario).
$\pi (r-r_2)^2(r-(r-r_2)/3) - \pi (r-r_1)^2 (r-(r-r_1)/3)$
Dunque
$\pi (r^2+r_2^2-2r r_2)(r-r/3+r_2/3)-\pi(r^2+r_1^2-2rr_1)(r-r/3+r_1/3)=$
$=\pi/3 (r^2+r_2^2-2r r_2)(2r+r_2)-\pi/3 (r^2+r_1^2-2rr_1)(2r+r_1)=$
$=\pi/3 (2r^3+2r r_2^2-4r^2r_2+r^2 r_2+r_2^3-2rr_2^2)-\pi/3 (2r^3+2rr_1^2-4r^2 r_1+r^2 r_1+r_1^3-2r r_1^2)=$
$=\pi/3 (-3 r^2 r_2+r_2^3)-\pi/3 (-3r^2 r_1 +r_1^3)= \pi r_2^3/3-\pi r^2 r_2 +\pi r^2 r_1-\pi r_1^3/3$.
Ho trovato una formulazione non molto difficile, tuttavia se metto in evidenza $r_2-r_1=h$ utilizzando la notazione tua
$\pi r_2^3/3-\pi r^2 r_2 +\pi r^2 r_1-\pi r_1^3/3=\pi r_2^3/3-h \pi r^2-\pi r_1^3/3= \pi/3 (r_2^3-r_1^3+3hr^2)$
Che non è la formulazione giusta ma è pur sempre abbastanza masticabile: non metto in dubbio che abbia sbagliato i calcoli o che magari da qui posso andare oltre e ricondurmi a quella che trovi (penso più alla prima ipotesi).
Tuttavia ho voluto solo mostrare che non sempre servono gli integrali.
Tornandoci su dopo aver fatto l'anteprima, se pongo
$r_2^3-r_1^3=(r_2-r_1)^3+3r_2^2 r_1 -3 r_2 r_1^2=h^3+3r_2 r_1 h$
sostituendo al tutto ottengo
$=\pi/3 (3hr^2 +h^3 +3r_2 r_1h)= h\pi/3 (3r^2+3r_2 r_1 + h^2)$
che è una formulazione mooolto vicina a quella che cerchi: inizio a pensare che nel groviglio di calcoli ho sbagliato qualcosa, ma che però ci sono...
Quindi forse mi stavo complicando la vita con gli integrali 
"burm87":
Quindi forse mi stavo complicando la vita con gli integrali
Guarda, secondo me come volume di solido di rotazione (il segmentino curvo che ruota e da origine al segmento sferico) il ragionamento è sacrosanto, però andrebbe espressa la circonferenza come $y= \sqrt{a-x^2}$ dove $a$ è il raggio (al quadrato) e c'era una formula apposta per il calcolo del volume dei solidi generati dalla rotazione di una curva.
Solo che alle superiori a tal riguardo avevamo fatto solo "cavolatelle" e anche qui non si trovano di rado utenti che domandano cose relative al calcolo di volumi di solidi di rotazione per mezzo degli integrali il ché mi fa pensare che o si fanno 2 cavolate (e tutti capiscono) o non si fanno per nulla.
Propenderei per quest'ultima perché c'è anche chi fa successioni/serie e induzioni alle superiori e sono certo che dieci anni fa queste cose non si facevano (quindi se aggiungi da una parte devi togliere dall'altra a parità di ore, no?
).Cioè, mi sembrava troppo difficile da risolvere con gli integrali e immaginavo un ragionamento manipolativo di formule che si fanno fin dal secondo superiore (volumi di sfera e parti di sfera).
Comunque, provando con il tuo primo metodo proposto in realtà non mi trovo molto, poi mi sfugge perchè dici che $r_2-r_1=h$. $h$ è la distanza tra i due piani. Ma probabilmente non facevi riferimento al testo dell'esercizio
"burm87":
Comunque, provando con il tuo primo metodo proposto in realtà non mi trovo molto, poi mi sfugge perchè dici che $r_2-r_1=h$. $h$ è la distanza tra i due piani. Ma probabilmente non facevi riferimento al testo dell'esercizio
E' il secondo metodo quello a cui fai riferimento (il primo è quello che mi è venuto in mente nel mio secondo post ma che ho visto essere abbastanza contorto).
Sì, non facevo riferimento al testo dell'esercizio, ma forse ci si può ricondurre (spero). Comunque a posteriori mi sa che la formula che ho detto un post fa - cioè il calcolo come solido di rotazione - è quella adatta anche se permangono i miei dubbi sul fatto che si faccia alle superiori anche in casi più difficili di quelli comuni...
Sul fatto che si faccia alle superiori non ho dubbi, ed è piuttosto semplice come formula, ma mi crea problemi per quanto riguarda il sistema di riferimento.
Per quanto riguarda il metodo più geometrico invece non mi trovo, nel senso che partendo da un volume di sfera di raggio $r$ cerco di sottrarre le due calotte, ma senza successo:
$4/3pir^3-pi/6h_1(3r_1^2+h_1^2)-pi/6h_2(3r_2^2+h_2^2)$
Preciso che $h_1$ e $h_2$ sono le distanze dei centri delle circonferenze formate dall'intersezione dei piani con la sfera e il "bordo" della sfera, mentre $r_1$ e $r_2$ sono i raggi di queste circonferenze.
Per quanto riguarda il metodo più geometrico invece non mi trovo, nel senso che partendo da un volume di sfera di raggio $r$ cerco di sottrarre le due calotte, ma senza successo:
$4/3pir^3-pi/6h_1(3r_1^2+h_1^2)-pi/6h_2(3r_2^2+h_2^2)$
Preciso che $h_1$ e $h_2$ sono le distanze dei centri delle circonferenze formate dall'intersezione dei piani con la sfera e il "bordo" della sfera, mentre $r_1$ e $r_2$ sono i raggi di queste circonferenze.
"burm87":
ma mi crea problemi per quanto riguarda il sistema di riferimento.
Infatti per questo ho optato subito per la soluzione "geometrica": mi sembrava un po' troppo complicata l'altra per le superiori.
Per il resto quello descritto da te era il primo che ho detto, cioè
"Zero87":
Magari non porta da nessuna parte, però hai pensato di prendere tutta la sfera e di sottrarre il volume della calottona sotto e della calottina sopra?
Che però m'è sembrato un po' contorto e nei post successivi ho corretto dicendo: prendo la calottona e tolgo la calottina (come se dicessi "per il volume del tronco di cono prendo il cono grande e tolgo la punta"). I miei calcoli successivi si riferiscono a quest'altro ragionamento.
Probabilmente c'è un errore di calcolo o comunque occorre risistemare la notazione perché io ho utilizzato $r_1$ come l'altezza (si dice così?) della calotta più piccola mentre $r_2$ è l'altezza di quella più grande.
Spero che qualcuno colorato di verde mi illumini
Anche se ho il colore verde, per ora vi posso dire poco; magari ripensandoci mi verrà qualche buona idea. Espongo comunque quello che ho ottenuto finora.
Cominciamo col volume del segmento sferico ad una base, che suppongo distare $h$ dal centro: introducendo un asse $x$ perpendicolare a questa base, il volume è dato da
$V_("1 base")=pi int_h^r(r^2-x^2)dx=...=pi/3(2r^3-3r^2h+h^3)$
Nel passare alle due basi, ho supposto che si trovassero da parti opposte rispetto al centro e (usando gli indici 1 e 2) ho sottratto questi due volumi dal volume della sfera, quindi
$V_("2 basi")=4/3pir^3-pi/3(2r^3-3r^2h_1+h_1^3)-pi/3(2r^3-3r^2h_2+h_2^3)=...$
$=pi/3(h_1+h_2)[3r^2-(h_1^2-h_1h_2+h_2^2)]$
Il problema di questa formula è che non utilizza i raggi $r_1,r_2$ ma le distanze ed il raggio della sfera (avete notato che non compare nella formula?). Bisognerebbe eliminare queste ultime variabili col sistema
${(r_1^2+h_1^2=r^2), (r_2^2+h_2^2=r^2),(h_1+h_2=h):}$
ed ho iniziato a farlo: ho trovato qualche bella semplificazione ma non credo di aver visto il metodo migliore. Inoltre bisogna ancora dimostrare che la formula vale anche se le basi sono dalla stessa parte del centro.
Se troverò qualcosa di meglio ve lo farò sapere.
Cominciamo col volume del segmento sferico ad una base, che suppongo distare $h$ dal centro: introducendo un asse $x$ perpendicolare a questa base, il volume è dato da
$V_("1 base")=pi int_h^r(r^2-x^2)dx=...=pi/3(2r^3-3r^2h+h^3)$
Nel passare alle due basi, ho supposto che si trovassero da parti opposte rispetto al centro e (usando gli indici 1 e 2) ho sottratto questi due volumi dal volume della sfera, quindi
$V_("2 basi")=4/3pir^3-pi/3(2r^3-3r^2h_1+h_1^3)-pi/3(2r^3-3r^2h_2+h_2^3)=...$
$=pi/3(h_1+h_2)[3r^2-(h_1^2-h_1h_2+h_2^2)]$
Il problema di questa formula è che non utilizza i raggi $r_1,r_2$ ma le distanze ed il raggio della sfera (avete notato che non compare nella formula?). Bisognerebbe eliminare queste ultime variabili col sistema
${(r_1^2+h_1^2=r^2), (r_2^2+h_2^2=r^2),(h_1+h_2=h):}$
ed ho iniziato a farlo: ho trovato qualche bella semplificazione ma non credo di aver visto il metodo migliore. Inoltre bisogna ancora dimostrare che la formula vale anche se le basi sono dalla stessa parte del centro.
Se troverò qualcosa di meglio ve lo farò sapere.
Grazie!
Ho trovato una soluzione abbastanza buona, ma conviene ripartire dall'inizio con qualche piccola modifica.
Introduciamo assi cartesiani con origine nel centro della sfera ed asse $x$ perpendicolare alle basi, che si hanno in corrispondenza di $x=h_1$ ed $x=h_2$, con $h_1
Ma si ha
${(r_1^2+h_1^2=r^2),(r_2^2+h_2^2=r^2):}->r^2=(r_1^2+h_1^2+r_2^2+h_2^2)/2$
Sostituendo nella formula del volume, con pochi passaggi si ottiene
$V=pi/6(h_2-h_1)[3r_1^2+3r_2^2+h_1^2-2h_1h_2+h_2^2]=pi/6(h_2-h_1)[3r_1^2+3r_2^2+(h_2-h_1)^2]$
E' $h=h_2-h_1$, quindi
$V=pi/6h(3r_1^2+3r_2^2+h^2)$
Introduciamo assi cartesiani con origine nel centro della sfera ed asse $x$ perpendicolare alle basi, che si hanno in corrispondenza di $x=h_1$ ed $x=h_2$, con $h_1
Ma si ha
${(r_1^2+h_1^2=r^2),(r_2^2+h_2^2=r^2):}->r^2=(r_1^2+h_1^2+r_2^2+h_2^2)/2$
Sostituendo nella formula del volume, con pochi passaggi si ottiene
$V=pi/6(h_2-h_1)[3r_1^2+3r_2^2+h_1^2-2h_1h_2+h_2^2]=pi/6(h_2-h_1)[3r_1^2+3r_2^2+(h_2-h_1)^2]$
E' $h=h_2-h_1$, quindi
$V=pi/6h(3r_1^2+3r_2^2+h^2)$
Oltre al fatto che mi chiedo come hai fatto nella prima formula del volume a mettere in evidenza $h_2-h_1$, io non ci sarei mai e poi mai arrivato, l'altra domanda che mi sorge è: questi calcoli funzionano solamente se si considera che i due piani che tagliano la sfera sono dalla stessa parte rispetto al centro della stessa, da cui si ha che $h=h_2-h_1$, giusto?
Nel caso in cui essi siano da parti opposte rispetto al centro si avrebbe che $h=h_1+h_2$, in questo caso andrebbe modificato il raccoglimento nella prima formula del volume?
Nel caso in cui essi siano da parti opposte rispetto al centro si avrebbe che $h=h_1+h_2$, in questo caso andrebbe modificato il raccoglimento nella prima formula del volume?
"giammaria":
Il volume del segmento sferico è
$V=pi int_(h_1)^(h_2)(r^2-x^2) dx=...$ [ecc...]
a cui aggiungo
"Zero87":
Guarda, secondo me come volume di solido di rotazione (il segmentino curvo che ruota e da origine al segmento sferico) il ragionamento è sacrosanto, però andrebbe espressa la circonferenza come $ y= \sqrt{a-x^2} $ dove $ a $ è il raggio (al quadrato) e c'era una formula apposta per il calcolo del volume dei solidi generati dalla rotazione di una curva.
Risultato = figura di ... beh, non bella direi.
Stamattina ho visto su wiki che nel calcolo dei volumi la funzione integranda è al quadrato - non la ricordavo al quadrato per questo ho escluso a priori il calcolo tramite integrale
- quindi la radice sparisce!http://it.wikipedia.org/wiki/Solido_di_ ... superficie
Morale: meglio fidarsi di chi è colorato di verde.
@ burm87. I calcoli per mettere in evidenza non sono certo complicati; eccoli dopo il primo passaggio.
$V=pi{r^2[x]_(h_1)^(h_2)-[1/3x^3]_(h_1)^(h_2)}=pi[r^2(h_2-h_1)-1/3(h_2^3-h_1^3)]=$
$=pi/3[3r^2(h_2-h_1)-(h_2-h_1)(h_2^2+h_1h_2+h_1^2)]$
e poi mi è bastato mettere in evidenza.
Per l'altra domanda: la formula vale comunque perché le $h_i$ non sono le distanze dal centro ma le ascisse dei due punti e la distanza fra due punti posti sull'asse $x$ è data dalla differenza fra le loro ascisse, indipendentemente dal segno. Ad esempio, la distanza fra $(-2,0)$ e $(3,0)$ è $3-(-2)=5$.
$V=pi{r^2[x]_(h_1)^(h_2)-[1/3x^3]_(h_1)^(h_2)}=pi[r^2(h_2-h_1)-1/3(h_2^3-h_1^3)]=$
$=pi/3[3r^2(h_2-h_1)-(h_2-h_1)(h_2^2+h_1h_2+h_1^2)]$
e poi mi è bastato mettere in evidenza.
Per l'altra domanda: la formula vale comunque perché le $h_i$ non sono le distanze dal centro ma le ascisse dei due punti e la distanza fra due punti posti sull'asse $x$ è data dalla differenza fra le loro ascisse, indipendentemente dal segno. Ad esempio, la distanza fra $(-2,0)$ e $(3,0)$ è $3-(-2)=5$.
Ok tutto chiaro ora, che stupidata il raccoglimento, non mi ero neanche accorto grazie di tutto!
grazie di tutto!
Prego.
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