Volume Tronco di piramide
Buongiorno ragazzi,
Oggi ho il seguente problema di Geometria solida che mi sta dando un pò noia:
Una piramide retta a base quadrata avente area di base \(\displaystyle S_b = 100 m^2 \) e altezza h = 40 m viene tagliata da un piano \(\displaystyle \alpha \) parallelo alla base e perpendicolare ad h, ottenendo così un tronco di piramide. Se l'area della superficie di base superiore è \(\displaystyle S'_b = 20 m^2 \), quanto vale l'altezza h' del tronco di piramide?
Risultato: \(\displaystyle h' = 8 \sqrt {5} m \)
Ho ragionato così: mi calcolo il volume della piramide, che viene \(\displaystyle V = { 4000 \over 3} \), il piano divide la piramide in un tronco di piramide ed una piramide più piccola in alto. Mi trovo il volume di questa piramidina: se chiamo h l'altezza della piramide, allora posso chiamare h' l'altezza del tronco e h'' l'altezza della piramidina, quindi: \(\displaystyle h'' = 40 - h' \), dopodichè il volume di questa piramidina è: \(\displaystyle V' = {{800 - 20 h'} \over 3} \).
A questo punto ci calcoliamo l'altezza del tronco, partendo dalla formula del volume, visto come differenza del volume della piramide - il volume della piramide più piccola:
\(\displaystyle V_{Tronco} = V - V' = {{3200 + 20 h'} \over 3} \).
A primo membro sostituiamo la formula del volume del tronco ed otteniamo:
\(\displaystyle {{(120 + 20 \sqrt{5}) \cdot h'} \over 3} = {{3200 + 20 h'} \over 3} \), da cui, facendo i calcoli e razionalizzando, otteniamo: \(\displaystyle h' = 8 (5 - \sqrt{5}) \)
Oggi ho il seguente problema di Geometria solida che mi sta dando un pò noia:
Una piramide retta a base quadrata avente area di base \(\displaystyle S_b = 100 m^2 \) e altezza h = 40 m viene tagliata da un piano \(\displaystyle \alpha \) parallelo alla base e perpendicolare ad h, ottenendo così un tronco di piramide. Se l'area della superficie di base superiore è \(\displaystyle S'_b = 20 m^2 \), quanto vale l'altezza h' del tronco di piramide?
Risultato: \(\displaystyle h' = 8 \sqrt {5} m \)
Ho ragionato così: mi calcolo il volume della piramide, che viene \(\displaystyle V = { 4000 \over 3} \), il piano divide la piramide in un tronco di piramide ed una piramide più piccola in alto. Mi trovo il volume di questa piramidina: se chiamo h l'altezza della piramide, allora posso chiamare h' l'altezza del tronco e h'' l'altezza della piramidina, quindi: \(\displaystyle h'' = 40 - h' \), dopodichè il volume di questa piramidina è: \(\displaystyle V' = {{800 - 20 h'} \over 3} \).
A questo punto ci calcoliamo l'altezza del tronco, partendo dalla formula del volume, visto come differenza del volume della piramide - il volume della piramide più piccola:
\(\displaystyle V_{Tronco} = V - V' = {{3200 + 20 h'} \over 3} \).
A primo membro sostituiamo la formula del volume del tronco ed otteniamo:
\(\displaystyle {{(120 + 20 \sqrt{5}) \cdot h'} \over 3} = {{3200 + 20 h'} \over 3} \), da cui, facendo i calcoli e razionalizzando, otteniamo: \(\displaystyle h' = 8 (5 - \sqrt{5}) \)
Risposte
Qui devi aver sbagliato qualcosa tu, ma fa caldo e non ho voglia di rifare tutti i conti. Devi tenere conto che il rappoto tra i volumi è uguale al rapporto tra i cubi di due lati corrispondenti (anche le due altezze vanno bene) e il rapporto tra le aree è uguale al rapporto tra i quadrati di due lati corrispondenti.
Quindi $V_1/V_2=(h_1)^3/(h_2)^3= (sqrt A_1)^3/(sqrt A_2)^3$, ma puoi usare anche la più immediata $h_1/h_2=sqrtA_1/sqrtA_2$
Io ho usato seconda proporzione e viene in un attimo.
Quindi $V_1/V_2=(h_1)^3/(h_2)^3= (sqrt A_1)^3/(sqrt A_2)^3$, ma puoi usare anche la più immediata $h_1/h_2=sqrtA_1/sqrtA_2$
Io ho usato seconda proporzione e viene in un attimo.
Grazie mille melia. Quindi, bisognava sfruttare la proporzionalità nello spazio. Non ricordavo proprio quelle relazioni, grazie davvero. Alla fine, era molto semplice, in linea, come tempistiche, con i tempi dei concorsi
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