Volume Solido di Rotazione
Buongiorno,
Avrei bisogno di aiuto su questo esercizio.
Trovare il volume del solido di rotazione formato ruotando la regione generata quando l'intersezione della curva $y=4-X^2$ e della retta $y=1$ è ruotata rispetto all'asse X.
Ovvero:
http://www.function-grapher.com/graphs/ ... fa0fa5.png
La mia prima ipotesi è stata, il volume totale del solido è dato dall'intervallo $-\sqrt(3) <= X <= \sqrt(3)$ quindi metà del volume è dato dall'intervallo $0 <= X <= \sqrt(3)$
Quindi posso tranquillamente calcolare il Volume del solido in tale regione e moltiplicare il tutto per due a processo finito.
Il solido che ne uscirebbe avrebbe area di base circolare, quindi l'area di base sarebbe $\piR^2$ dove $R=4-X^2-1$ dove il $-1$ è dato dalla retta $y-1$ la cui porzione di area va esclusa. Quindi il volume totale sarebbe dato da
$V=2\pi\int^\sqrt(3)_0 (3-X^2)\dx$
Quindi:
$V=2\pi\int^\sqrt(3)_0 (9-6X^2+X^4)\dx$
Visto che:
$\int (9-6X^2+X^4)\dx = 9X-18X^3+(1/5)X^5+c$
$V=2\pi(9\sqrt(3)-18\sqrt(3)^3+(1/5)\sqrt(3)^5)$
Tuttavia, così mi esce un volume negativo... Dove sto sbagliando?
Avrei bisogno di aiuto su questo esercizio.
Trovare il volume del solido di rotazione formato ruotando la regione generata quando l'intersezione della curva $y=4-X^2$ e della retta $y=1$ è ruotata rispetto all'asse X.
Ovvero:
http://www.function-grapher.com/graphs/ ... fa0fa5.png
La mia prima ipotesi è stata, il volume totale del solido è dato dall'intervallo $-\sqrt(3) <= X <= \sqrt(3)$ quindi metà del volume è dato dall'intervallo $0 <= X <= \sqrt(3)$
Quindi posso tranquillamente calcolare il Volume del solido in tale regione e moltiplicare il tutto per due a processo finito.
Il solido che ne uscirebbe avrebbe area di base circolare, quindi l'area di base sarebbe $\piR^2$ dove $R=4-X^2-1$ dove il $-1$ è dato dalla retta $y-1$ la cui porzione di area va esclusa. Quindi il volume totale sarebbe dato da
$V=2\pi\int^\sqrt(3)_0 (3-X^2)\dx$
Quindi:
$V=2\pi\int^\sqrt(3)_0 (9-6X^2+X^4)\dx$
Visto che:
$\int (9-6X^2+X^4)\dx = 9X-18X^3+(1/5)X^5+c$
$V=2\pi(9\sqrt(3)-18\sqrt(3)^3+(1/5)\sqrt(3)^5)$
Tuttavia, così mi esce un volume negativo... Dove sto sbagliando?
Risposte
Quando, a ruotare, è la parte di piano compresa tra due curve $f(x)$ e $g(x)$ con $f(x) >= g(x) >= 0$ intersecantesi per $x = a$ e per $x = b$, devi applicare la seguente formula:
$V = \int_a^b[f(x)]^2dx - \int_a^b[g(x)]^2dx$
In ogni modo il tuo procedimento è sbagliato a priori, non perchè l'integrale risulta negativo. Tra l'altro dovrebbe risultare positivo, hai sicuramente sbagliato qualcosa.
$V = \int_a^b[f(x)]^2dx - \int_a^b[g(x)]^2dx$
In ogni modo il tuo procedimento è sbagliato a priori, non perchè l'integrale risulta negativo. Tra l'altro dovrebbe risultare positivo, hai sicuramente sbagliato qualcosa.
Ciao Speculor,
Grazie, mi sa che non avevo proprio capito come applicare la formula...
Ora ci riprovo, grazie davvero per l'aiuto!!
Grazie, mi sa che non avevo proprio capito come applicare la formula...
Ora ci riprovo, grazie davvero per l'aiuto!!
Io ragionerei così:
Le due curve si intersecano in $(-sqrt(3), 1)$ e $(sqrt(3), 1)$. Il volume cercato, $V$, è quello del solido di rotazione della superficie sottostante l'arco di parabola fra $(-sqrt(3), 1)$ e $(sqrt(3), 1)$, $V_1$, a cui va sottratto il volume di un cilindro di raggio di base $r = 1$ e altezza $h = 2 * sqrt(3)$, $V_2$.
Ora
$V_2 = \pi * r^2 * h = \pi * 1^2 * 2 * sqrt(3) = 2 * \pi * sqrt(3)$.
$V_1 = 2 * \int_0^\sqrt(3)[\pi * (4 - x^2)^2]dx$ =
$2 * \pi * \int_0^\sqrt(3) (16 - 8 * x^2 + x^4)dx$ =
$2 * \pi * [16*x - (8/3) * x^3 + (1/5) * x^5]_0^\sqrt(3) =
$2 * \pi * [16 * sqrt(3) - (8/3) * 3 * sqrt(3) + (1/5) * 9 * sqrt(3)] =
$2 * \pi * sqrt(3) * (49/5)$.
Quindi
$V = V_1 - V_2 = 2 * \pi * sqrt(3) * (49/5) - 2 * sqrt(3) * \pi = 2 * \pi * sqrt(3) * (44/5)$
Nei tuoi conti c'è qui almeno un errore: $\int (9-6X^2+X^4)\dx = 9X-18X^3+(1/5)X^5+c$, invece è $= 9X-2X^3+(1/5)X^5+c$
Le due curve si intersecano in $(-sqrt(3), 1)$ e $(sqrt(3), 1)$. Il volume cercato, $V$, è quello del solido di rotazione della superficie sottostante l'arco di parabola fra $(-sqrt(3), 1)$ e $(sqrt(3), 1)$, $V_1$, a cui va sottratto il volume di un cilindro di raggio di base $r = 1$ e altezza $h = 2 * sqrt(3)$, $V_2$.
Ora
$V_2 = \pi * r^2 * h = \pi * 1^2 * 2 * sqrt(3) = 2 * \pi * sqrt(3)$.
$V_1 = 2 * \int_0^\sqrt(3)[\pi * (4 - x^2)^2]dx$ =
$2 * \pi * \int_0^\sqrt(3) (16 - 8 * x^2 + x^4)dx$ =
$2 * \pi * [16*x - (8/3) * x^3 + (1/5) * x^5]_0^\sqrt(3) =
$2 * \pi * [16 * sqrt(3) - (8/3) * 3 * sqrt(3) + (1/5) * 9 * sqrt(3)] =
$2 * \pi * sqrt(3) * (49/5)$.
Quindi
$V = V_1 - V_2 = 2 * \pi * sqrt(3) * (49/5) - 2 * sqrt(3) * \pi = 2 * \pi * sqrt(3) * (44/5)$
Nei tuoi conti c'è qui almeno un errore: $\int (9-6X^2+X^4)\dx = 9X-18X^3+(1/5)X^5+c$, invece è $= 9X-2X^3+(1/5)X^5+c$
@Speculor:
Quindi sarebbe $\pi(\int^\sqrt(3)_-\sqrt(3) (4-X^2)^2\,dx - \int^\sqrt(3)_-\sqrt(3) 1\,dx)$ giusto?
Quindi sarebbe $\pi(\int^\sqrt(3)_-\sqrt(3) (4-X^2)^2\,dx - \int^\sqrt(3)_-\sqrt(3) 1\,dx)$ giusto?
Giusto. chiaraotta faceva giustamente notare come il volume da sottrarre, ma solo in questo caso, si trattasse semplicemente di un cilindro. Quella formula vale sempre e comunque. Quando il problema lo consente, eventuali semplificazioni, compreso l'intervallo di integrazione, sono senz'altro meritevoli.
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