Volume e superficie di un solido di rotazione
salve, riguardando un esercizio del liceo, mi sono sorti dei dubbi circa il calcolo del volume e della superficie di un solido di rotazione. Spero di aver formulato bene la domanda:
il volume (dato dalla rotazione di una funzione f attorno all'asse x) e la superficie del solido di rotazione sono rispettivamente:
V=integrale(da 0 a x) di (pigreco* f^2 *dx) e S= integrale di ( 2pigreco * f * dl) dove dl= dx * sqrt(1+ (f ')^2) ovvero la lunghezza infinitesima del grafico.
Per quale ragione il volume viene calcolato mediante somma di volumi di cilindri infinitesimi di area pigreco * f^2 e di altezza dx mentre nel caso della superficie non si usa dx bensì dl? quali sono le differenze tra dx e dl nella logica dell'integrale? nel caso del calcolo della superficie si può ancora parlare di somma di infinite superfici laterali di cilindri infinitesimi? grazie per la disponibilità!!
il volume (dato dalla rotazione di una funzione f attorno all'asse x) e la superficie del solido di rotazione sono rispettivamente:
V=integrale(da 0 a x) di (pigreco* f^2 *dx) e S= integrale di ( 2pigreco * f * dl) dove dl= dx * sqrt(1+ (f ')^2) ovvero la lunghezza infinitesima del grafico.
Per quale ragione il volume viene calcolato mediante somma di volumi di cilindri infinitesimi di area pigreco * f^2 e di altezza dx mentre nel caso della superficie non si usa dx bensì dl? quali sono le differenze tra dx e dl nella logica dell'integrale? nel caso del calcolo della superficie si può ancora parlare di somma di infinite superfici laterali di cilindri infinitesimi? grazie per la disponibilità!!
Risposte
Benvenuto,
al fine di non creare problemi di lettura a chi ti deve rispondere, devi scrivere utilizzando la scrittura in formule del forum, che prevede l'inserimento del simbolo
Quindi il tuo testo diventa
$V=int_(0)^(x) pi*f^2* dx $ ...
al fine di non creare problemi di lettura a chi ti deve rispondere, devi scrivere utilizzando la scrittura in formule del forum, che prevede l'inserimento del simbolo
$all'inizio e alla fine della formula.
Quindi il tuo testo diventa
$V=int_(0)^(x) pi*f^2* dx $ ...
Anch'io ti do il benvenuto nel forum. Luca ti ha già dato un suggerimento per rendere più leggibili le tue formule; un altro è seguire le istruzioni che trovi col rimando del riquadro rosa in alto.
Passando alla tua domanda, considera il tratto di curva compreso fra $x$ ed $x+dx$; per l'estremo più in basso traccia la parallela all'asse $x$ e per l'altro la parallela all'asse $y$. Ottieni un triangolo rettangolo di cateti $dx,dy$ (non preoccupiamoci del segno) ed ipotenusa $dl$ e la superficie del solido dipende dall'area descritta da $dl$; non è la somma "di infinite superfici laterali di cilindri infinitesimi" ma quella di "di infinite superfici laterali di tronchi di cono infinitesimi".
Per capirlo meglio, supponi che la funzione sia rappresentata da una retta di coefficiente angolare $m$; allora
$dy=mdx->dl=sqrt((dx)^2+(mdx)^2)=sqrt(1+m^2)dx$
e se ci limitassimo al semplice $dx$ trascureremmo in tutti gli addendi uno stesso fattore costante.
@Luca. Ho lievemente modificato la tua formula; quando studierai gli integrali definiti scoprirai che si nomina per primo il numero scritto in basso.
Passando alla tua domanda, considera il tratto di curva compreso fra $x$ ed $x+dx$; per l'estremo più in basso traccia la parallela all'asse $x$ e per l'altro la parallela all'asse $y$. Ottieni un triangolo rettangolo di cateti $dx,dy$ (non preoccupiamoci del segno) ed ipotenusa $dl$ e la superficie del solido dipende dall'area descritta da $dl$; non è la somma "di infinite superfici laterali di cilindri infinitesimi" ma quella di "di infinite superfici laterali di tronchi di cono infinitesimi".
Per capirlo meglio, supponi che la funzione sia rappresentata da una retta di coefficiente angolare $m$; allora
$dy=mdx->dl=sqrt((dx)^2+(mdx)^2)=sqrt(1+m^2)dx$
e se ci limitassimo al semplice $dx$ trascureremmo in tutti gli addendi uno stesso fattore costante.
@Luca. Ho lievemente modificato la tua formula; quando studierai gli integrali definiti scoprirai che si nomina per primo il numero scritto in basso.
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