Volume di un solido intorno all'asse x di 360°

[glorietta881]

Buongiorno,

sono di fronte ad un problema del quale non ne vengo a capo: Trova il volume del solido ottenuto ruotando di 360° attorno all'asse x il trapezoide definito dalla funzione $y=(x)/(2-x)$.

La formula per calcolare il volume di un solido che ruota attorno all'asse x di 360° è:

$V=pi\int_{A}^{B} f(x)^2 dx$

quindi il mio integrale risulta:

$V=pi\int_{0}^{1} [(x)/(x-2)]^2 dx$ , $V=pi\int_{0}^{1} (x^2)/(x^2 - 4x + 4) dx]$

come primo step risolvo la divisione dei polinomi visto che numeratore e denominatore hanno lo stesso grado e risulta $Q(x)=1$ e $R(x)=4x - 4$ pertanto l'integrale diventa:

$V=pi[\int_{0}^{1} (1) dx + \int_{0}^{1} (4x-4)/(x^2 - 4x + 4) dx$

Sempre se fino a qua ho fatto giusto non riesco a venirne a capo di questo integrale: $\int_{0}^{1} (4x-4)/(x^2 - 4x + 4) dx$

sembra che sopra sia quasi la derivata del denomiratore $2x-4$ ma non so come paraggiarla.
Grazie mille a tutti!

[Casio98]

In questo caso hai denominatore con determinante nullo e numeratore di secondo grado. Devi risolverlo con le frazioni semplici.
Devi cioè scrivere dopo aver portato fuori il 4 $(x-1)/((2-x)^2)=A/(2-x)+B/((2-x)^2)$ e poi ti verranno integrali elementari.