Volume di un solido
Salve
avevo gia aperto un topic simile ma inerente alla superficie di un solido (superficie esterna) quindi area laterale.
Era saltato fuori dopo una simpatica discussione il motivo per il quale bisogna usare una determinato integrale, che ora ho capito e son contento.
Adesso pero' dovendo affrontare problemi inerenti al baricentro di una figura...
in questo caso è saltato fuori un cono, mi sono sorti dei dubbi.
So come si calcola e so quale procedimento devo svolgere, ma la mia è più un'osservazione nata nello svolgere questo esercizio.
l'integrale per calcolare il volume di un solido con rotazione sull'asse $x$
è il seguente $pi int_(a)^(b) f(x)^2 dx$
pensando ad un cono rovesciato...
$f(x)$ mi da il raggio, elevandolo al quadrato e moltiplicandolo per $pi$ ottengo un cerchio ...
questo cerchio va moltiplicato per il dx... che è l'altezza di questo cerchio, giusto?
in teoria ottengo il volume di un mini cilindro vero?
sommati tutti questi mini cilindri ottengo il volume del corpo (in questo caso un cono)...
ma perchè sommando dei mini cilindri arrivo al volume del solido?
mi spiego:
se sommo dei cilindri non arriverò mai al volume del cono, no ?
arrivo ad un volume piu piccolo vi accludo un disegno che ho fatto cosi rendo di piu l'idea:
si continuano a sommare dei cilindretti....
ma cosi perdiamo un po di volume ogni volta no?
grazie
avevo gia aperto un topic simile ma inerente alla superficie di un solido (superficie esterna) quindi area laterale.
Era saltato fuori dopo una simpatica discussione il motivo per il quale bisogna usare una determinato integrale, che ora ho capito e son contento.
Adesso pero' dovendo affrontare problemi inerenti al baricentro di una figura...
in questo caso è saltato fuori un cono, mi sono sorti dei dubbi.
So come si calcola e so quale procedimento devo svolgere, ma la mia è più un'osservazione nata nello svolgere questo esercizio.
l'integrale per calcolare il volume di un solido con rotazione sull'asse $x$
è il seguente $pi int_(a)^(b) f(x)^2 dx$
pensando ad un cono rovesciato...
$f(x)$ mi da il raggio, elevandolo al quadrato e moltiplicandolo per $pi$ ottengo un cerchio ...
questo cerchio va moltiplicato per il dx... che è l'altezza di questo cerchio, giusto?
in teoria ottengo il volume di un mini cilindro vero?
sommati tutti questi mini cilindri ottengo il volume del corpo (in questo caso un cono)...
ma perchè sommando dei mini cilindri arrivo al volume del solido?
mi spiego:
se sommo dei cilindri non arriverò mai al volume del cono, no ?
arrivo ad un volume piu piccolo vi accludo un disegno che ho fatto cosi rendo di piu l'idea:
si continuano a sommare dei cilindretti....
ma cosi perdiamo un po di volume ogni volta no?
grazie
Risposte
In realtà il $dx$ è talmente minuscolo che le "fette" del solido sono cilindriche e il fatto che le pareti siano "storte" non incide.
"minomic":
In realtà il $dx$ è talmente minuscolo che le "fette" del solido sono cilindriche e il fatto che le pareti siano "storte" non incide.
e fin qui lo avevo supposto anch io...
ma allora perchè per calcolare la superficie laterale del solido non posso fare semplicemente
$2pi int_(a)^(b) f(x)dx $ ???
ossia una circonferenza di raggio $f(x)$ moltiplicata per $dx$ e quindi la circonferenza laterale di un mini cilindro che continuerei a sommare.
al posto di $2pi int_(a)^(b)f(x)sqrt(1+(f'(x))^2)$ ???
cioe in quel caso non si puo usare il cilindro ma il tronco di cono....
capisci cosa intendo?
grazie
Non sono sicuro di aver capito quello che dici, però ti dico questo: non puoi utilizzare una circonferenza perchè per ottenere un volume devi sommare volumi, mentre \[\int_a^b f(x)\ dx\] è un'area.
"minomic":
Non sono sicuro di aver capito quello che dici, però ti dico questo: non puoi utilizzare una circonferenza perchè per ottenere un volume devi sommare volumi, mentre \[\int_a^b f(x)\ dx\] è un'area.
infatti lo so che è un area... ma immagina la superficie laterale di un cono...
è un area giusto?
beh anche questo integrale mi da un area...
$2pi int_a^b f(x)\ dx$
ossia è una somma delle aree laterali di mini cilindri cilindri...
eppure pero questa soluzione non va bene il che fa strano...
capisci cosa intendo?
tu stesso mi hai detto che il $dx$ e' cosi piccolo che i lati diagonali in un intervallo che tende a zero vengono visti perfettamente paralleli all'asse $x$ quindi il problema non c'è...
ecco data la tua risposta allora non capisco perche
in caso del calcolo di una superficie laterale di un cono
l'integrale $2pi int_a^b f(x)\ dx$ non va bene...
eppure anche lui somma aree su aree (laterali)
di mini cilindri... ma non va bene... ne avevo gia parlato con giammaria...
ma la cosa e' strana pero'...
Il discorso preciso è sull'ordine degli infinitesimi; probabilmente in proposito ne sai ancora poco, quindi cerco di tradurlo in termini più semplici. In corrispondenza ad un cambiamento $Deltax=0,0001$ si ha un $Deltay$ che avrà un valore nello stesso ordine di grandezza: possiamo pensare a $Deltay=0,0003$ o cose simili, comunque a valori non troppo diversi da $Deltax$. Se invece calcoliamo $(Deltax)^2$ oppure $Deltax*Deltay$ troviamo un numero molto più piccolo, trascurabile rispetto ai precedenti.
Conclusione: $dy$ non è trascurabile rispetto a $dx$, mentre sono trascurabili loro potenze o prodotti.
Nel caso della superficie, l'apotema è $ds=sqrt((dx)^2+(dy)^2)$: ci sono due addendi più o meno grandi uguali e quindi non possiamo trascurare uno dei due.
Nel caso del volume, se $r=f(x)$ è uno dei raggi, l'altro è $r+dy$: quest'ultima è la somma di un non-infinitesimo e di un infinitesimo, quindi l'infinitesimo è trascurabile e possiamo pensare che anche l'altro raggio sia $r$. Se la cosa non ti convince, prova a fare i calcoli: il volume di un tronco di cono è $V=pi/3h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$ e nel nostro caso abbiamo $h=dx, r_1=r,r_2=r+dy$. Arrivi a $pi/3dx[3r^2+3rdy+(dy)^2]$ che, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, diventa $pir^2dx$.
Conclusione: $dy$ non è trascurabile rispetto a $dx$, mentre sono trascurabili loro potenze o prodotti.
Nel caso della superficie, l'apotema è $ds=sqrt((dx)^2+(dy)^2)$: ci sono due addendi più o meno grandi uguali e quindi non possiamo trascurare uno dei due.
Nel caso del volume, se $r=f(x)$ è uno dei raggi, l'altro è $r+dy$: quest'ultima è la somma di un non-infinitesimo e di un infinitesimo, quindi l'infinitesimo è trascurabile e possiamo pensare che anche l'altro raggio sia $r$. Se la cosa non ti convince, prova a fare i calcoli: il volume di un tronco di cono è $V=pi/3h(r_1^2+r_1r_2+r_2^2)$ e nel nostro caso abbiamo $h=dx, r_1=r,r_2=r+dy$. Arrivi a $pi/3dx[3r^2+3rdy+(dy)^2]$ che, trascurando gli infinitesimi di ordine superiore, diventa $pir^2dx$.
Grazie giammaria, (ma quanto ne sai) ??? 
ad ogni modo, dovrei aver capito il concetto.
Però scusami ma la domanda è lecita a questo punto:
Volendo allora potrei calcolare il volume anche con l'apotema giusto?
tipo
$ pi int_(a)^(b) (f(x))^2 sqrt(1+(f'(x))^2)dx$
dove
$f(x)=r$
$sqrt(1+(f'(x))^2)=ds$
ad ogni modo, dovrei aver capito il concetto.
Però scusami ma la domanda è lecita a questo punto:
Volendo allora potrei calcolare il volume anche con l'apotema giusto?
tipo
$ pi int_(a)^(b) (f(x))^2 sqrt(1+(f'(x))^2)dx$
dove
$f(x)=r$
$sqrt(1+(f'(x))^2)=ds$
No perché l'apotema non c'entra per niente col volume di un tronco di cono.
Per qualunque altra idea ti possa venire, ti do un suggerimento pratico: considera un solido facile, di cui tu sappia calcolare superficie e volume con la geometria (ad esempio un cono) e confronta il risultato così ottenuto con quello che avresti con l'analisi. Così scopri da solo se la tua idea funziona o no.
Per qualunque altra idea ti possa venire, ti do un suggerimento pratico: considera un solido facile, di cui tu sappia calcolare superficie e volume con la geometria (ad esempio un cono) e confronta il risultato così ottenuto con quello che avresti con l'analisi. Così scopri da solo se la tua idea funziona o no.
ok grazie 
ma gia lo sto facendo, il problema e' che ogni tanto i risultati convergono...
tipo la superficie l'aterale di un corno che ruota in $x$ l'avevo fatto con $int_(0)^(+oo) 2pi f(x) dx$ e usciva uguale il risultato...
ma gia lo sto facendo, il problema e' che ogni tanto i risultati convergono... tipo la superficie l'aterale di un corno che ruota in $x$ l'avevo fatto con $int_(0)^(+oo) 2pi f(x) dx$ e usciva uguale il risultato...
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