Volume della Piramide dai vertici dati

[Fabio_Godurioso]

Una piramide ha per base un quadrato di vertici A(1; 0; 0), B(2; -2; 2), C(0; -1; 4) e D, e vertice in V( 2; 3; 9). Calcola il volume della piramide. Sono riuscito a calcolarmi ľarea di base tramite la distanza tra i due punti, ho provato a fare il punto medio di una diagonale e poi a fare la distanza tra V e il punto medio per ľaltezza ma alla fine il volume mi dà 24... deve dare 17

Aggiunto 43 secondi più tardi:

Mi da 24*

[Lollo_F]

Anche a me verebbe 24, con:

[math]
d_{AB}= 3
[/math]

[math]
d_{MV}= \frac{ \sqrt{254} }{2}
[/math]

Se fosse una piramide retta. Come vediamo pero' dalle coordinate del vertice, non e' questo il caso.
La situazione e' leggermente piu' complicata: ti conviene trovare il piano su cui giace il quadrato e applicare la formula distanza punto-retta (in questo caso piano-punto) in modo da trovare il valore dell'altezza.

Piano del tipo:
ix+jy+kz+l=0

Faccio un sistema a tre incognite sostituendo x, y, z con le coordinate dei tre punti A, B, C.

i+l=0
2i-2j+2k+l=0
-j+4k+l=0

i=-l
j=4k+l
-l-2(-4k+l)+2k=0

i=-l
j=-l
k=-0.5l

Pertanto il piano e'

(-lx-ly-0.5lz+l=0) (-2/l)

2x+2y+z-2=0

[math]
h= \begin{vmatrix}
{ \frac{2\cdot2 + 3\cdot2 + 9-2}{ \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} } }
\end{vmatrix} = \frac{17}{3}
[/math]

[math]
V= \frac{l^2 \cdot h}{3} = 17
[/math]