Villa del prof. Abacus €150.000
Nel giardino della villa del professor Abacus c'è una piscina circolare circondata da quattro vialetti rettilinei che tormano un quadrilatero. La piscina tocca ciascuno dei quattro vialetti e inoltre due vialetti opposti sono paralleli mentre gli altri due hanno la stessa lunghezza. Sapendo che i due paralleli misurano rispettivamente 800 e 200 cm quanti cm misura il raggio della piscina?
Aggiunto 1 ore 30 minuti più tardi:
Era una battuta...
Aggiunto 29 minuti più tardi:
Mi sfugge solo una cosa. Cosa mi garantisce che i punti di tangenza dividono le due basi in segmenti congruenti?!
Aggiunto 17 ore 59 minuti più tardi:
Si ma la geometria che interessa a me è quella RAZIONALE non quella col disegnino. Non riesco a capire PERCHE la circonferenza divide la base minore in segmenti congruenti, chi mi garantisce la CONGRUENZA DEI SEGMENTI, quale teorema quale ragionamento logico mi induce a credere che quei due segmenti siano congr?
Aggiunto 1 minuti più tardi:
O meglio, cosa mi garantisce che il segmento che unisce punto di tangenza e centro della circonferenza è PARALLELA all'altezza del trapezio?
Aggiunto 19 ore 25 minuti più tardi:
Scusate ma non avete risolto il mio dubbio. Il procedimento l'ho capito, ma voi avete dato per scontato che i punti della circonferenza tangenti alle due basi li dividono in due parti perfettamente uguali. E' questo che non ho capito.
Per esempio potrebbe essere che tale punto divida la base minore non in due "A/2" ma per esempiop in un "1/4 A" e un "3/4 A". Chi mi garantisce che quel punto si trova proprio AL CENTRO della base?
Aggiunto 6 ore 45 minuti più tardi:
Bit, ingegnoso, dannatamente ingegnoso ahahahahahahaha! Bravo! Funziona
Aggiunto 1 ore 30 minuti più tardi:
Era una battuta...
Aggiunto 29 minuti più tardi:
Mi sfugge solo una cosa. Cosa mi garantisce che i punti di tangenza dividono le due basi in segmenti congruenti?!
Aggiunto 17 ore 59 minuti più tardi:
Si ma la geometria che interessa a me è quella RAZIONALE non quella col disegnino. Non riesco a capire PERCHE la circonferenza divide la base minore in segmenti congruenti, chi mi garantisce la CONGRUENZA DEI SEGMENTI, quale teorema quale ragionamento logico mi induce a credere che quei due segmenti siano congr?
Aggiunto 1 minuti più tardi:
O meglio, cosa mi garantisce che il segmento che unisce punto di tangenza e centro della circonferenza è PARALLELA all'altezza del trapezio?
Aggiunto 19 ore 25 minuti più tardi:
Scusate ma non avete risolto il mio dubbio. Il procedimento l'ho capito, ma voi avete dato per scontato che i punti della circonferenza tangenti alle due basi li dividono in due parti perfettamente uguali. E' questo che non ho capito.
Per esempio potrebbe essere che tale punto divida la base minore non in due "A/2" ma per esempiop in un "1/4 A" e un "3/4 A". Chi mi garantisce che quel punto si trova proprio AL CENTRO della base?
Aggiunto 6 ore 45 minuti più tardi:
Bit, ingegnoso, dannatamente ingegnoso ahahahahahahaha! Bravo! Funziona
Risposte
Beh e' il caso di una circonferenza inscritta a un quadrilatero che ha due lati paralleli e due no, e che i due non paralleli hanno stessa lunghezza, e quindi in sintesi e' un trapezio isoscele circoscritto alla circonferenza.
Il diametro perpendicolare alla base, taglia la base maggiore e quella minore di un trapezio perfettamente a meta'.
Inoltre dato un punto esterno alla circonferenza (ovvero i 4 vertici) le distanze tra il punto esterno e i punti di tangenza sono le medesime.
Quindi la distanza tra un vertice della base maggiore e il punto di tangenza su di essa e' 400, e pertanto anche il segmento appartenente al lato obliquo e avente come estremi il punto di tangenza sul lato obliquo e il vertice dlela base maggiore sara' 400.
L'altro segmento tra il punto di tangenza sul lato obliquo e il vertice della base minore sara' 100 per analogo ragionamento.
Il lato obliquo sara' dunque 500, grazie al teorema di Pitagora ricavi l'altezza (che sara' cateto del triangolo avente come ipotenusa 500 e come cateto 300 (ovvero Base maggiore - Base minore tutto diviso 2)
L'altezza sara' 400, e dunque il raggio 200.
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Mi sfugge il significato di € 150.000,00 se posso essere sincero :)
Aggiunto 23 minuti più tardi:
Anche la mia..... infatti l'ho aggiunta dopo :)
Aggiunto 1 giorni più tardi:
L'altezza del trapezio e' perpendicolare alle basi.
Il segmento congiungente il centro della circonferenza e il punto di tangenza (raggio) e' sempre perpendicolare alla tangente.
Pertanto i due raggi, relativi ai punti di tangenza sulle due basi, saranno ad esse perpendicolari, e pertanto paralleli a tutte le altezze del trapezio.
Inoltre essendo entrambi i raggi perpendicolari alle basi (parallele) giaceranno sullo stesso diametro. Infatti non esistono due diametri paralleli.
Aggiunto 2 ore 59 minuti più tardi:
Chiama AB la base maggiore, CD quella minore, OH il raggio perpendicolare a AD, OK quello perpendicolare a BC, OP quello perpendicolare a CD.
I quadrilateri PDHO e PCKO sono simili, in quanto hanno 2 angli retti ciascuno e due angoli congruenti (quello in D e quello in C dal momento che il trapezio e' isoscele).
Quindi l'angolo HOP sara' congruente all'angolo POK per differenza (360 - 3 angoli congruenti).
A questo punto grazie ai criteri di uguaglianza dei triangoli ottieni la risposta.
Se tracci HP hai il triangolo HPO isoscele (due lati sono i raggi) e analogamente PKO
PHO e' congruente a PKO.
Infine PDH e' isoscele, di base PH e angolo al vertice PDH (e angoli alla base 180 - 2PDH)
Idem per il triangolo PCK.
Concludi velocemente che i triangoli PDH e PCK sono conguruneti e quindi HD=DP=PC=CK
Il diametro perpendicolare alla base, taglia la base maggiore e quella minore di un trapezio perfettamente a meta'.
Inoltre dato un punto esterno alla circonferenza (ovvero i 4 vertici) le distanze tra il punto esterno e i punti di tangenza sono le medesime.
Quindi la distanza tra un vertice della base maggiore e il punto di tangenza su di essa e' 400, e pertanto anche il segmento appartenente al lato obliquo e avente come estremi il punto di tangenza sul lato obliquo e il vertice dlela base maggiore sara' 400.
L'altro segmento tra il punto di tangenza sul lato obliquo e il vertice della base minore sara' 100 per analogo ragionamento.
Il lato obliquo sara' dunque 500, grazie al teorema di Pitagora ricavi l'altezza (che sara' cateto del triangolo avente come ipotenusa 500 e come cateto 300 (ovvero Base maggiore - Base minore tutto diviso 2)
L'altezza sara' 400, e dunque il raggio 200.
Aggiunto 5 minuti più tardi:
Mi sfugge il significato di € 150.000,00 se posso essere sincero :)
Aggiunto 23 minuti più tardi:
Anche la mia..... infatti l'ho aggiunta dopo :)
Aggiunto 1 giorni più tardi:
L'altezza del trapezio e' perpendicolare alle basi.
Il segmento congiungente il centro della circonferenza e il punto di tangenza (raggio) e' sempre perpendicolare alla tangente.
Pertanto i due raggi, relativi ai punti di tangenza sulle due basi, saranno ad esse perpendicolari, e pertanto paralleli a tutte le altezze del trapezio.
Inoltre essendo entrambi i raggi perpendicolari alle basi (parallele) giaceranno sullo stesso diametro. Infatti non esistono due diametri paralleli.
Aggiunto 2 ore 59 minuti più tardi:
Chiama AB la base maggiore, CD quella minore, OH il raggio perpendicolare a AD, OK quello perpendicolare a BC, OP quello perpendicolare a CD.
I quadrilateri PDHO e PCKO sono simili, in quanto hanno 2 angli retti ciascuno e due angoli congruenti (quello in D e quello in C dal momento che il trapezio e' isoscele).
Quindi l'angolo HOP sara' congruente all'angolo POK per differenza (360 - 3 angoli congruenti).
A questo punto grazie ai criteri di uguaglianza dei triangoli ottieni la risposta.
Se tracci HP hai il triangolo HPO isoscele (due lati sono i raggi) e analogamente PKO
PHO e' congruente a PKO.
Infine PDH e' isoscele, di base PH e angolo al vertice PDH (e angoli alla base 180 - 2PDH)
Idem per il triangolo PCK.
Concludi velocemente che i triangoli PDH e PCK sono conguruneti e quindi HD=DP=PC=CK
Condizione: lato A=200, B=800, C=D
Analisi:
A e B sono 2 basi, una sopra, l'altra sotto, C e D sono uguali, la piscina è una circonferenza, allora possiamo vedere come una circonferenza dentro un trapezio isoscele.
il r della circonferenza non è l'altro che la metà dell'altezza.
r=h/2
Adesso bisogna trovare la lunghezza del C e D, la circonferenza ho 4 punti sul trapezio, divide i lati C e D in 2, la parte piu lunga è uguale a B/2, e il tatto piu corto è uguale a A/2, percio C=(A/2)+(B/2)=500
teorema di pi, Ah=300, h=radice quadrato(500^2-300^2)=400 e il raggio= h/2= 200
Risposta: il raggio della piscina è 200cm
Analisi:
A e B sono 2 basi, una sopra, l'altra sotto, C e D sono uguali, la piscina è una circonferenza, allora possiamo vedere come una circonferenza dentro un trapezio isoscele.
il r della circonferenza non è l'altro che la metà dell'altezza.
r=h/2
Adesso bisogna trovare la lunghezza del C e D, la circonferenza ho 4 punti sul trapezio, divide i lati C e D in 2, la parte piu lunga è uguale a B/2, e il tatto piu corto è uguale a A/2, percio C=(A/2)+(B/2)=500
teorema di pi, Ah=300, h=radice quadrato(500^2-300^2)=400 e il raggio= h/2= 200
Risposta: il raggio della piscina è 200cm
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