Verificare un limite
Ciao a tutti domani ho una verifica e non riesco a capire come si possa verificare un limite mi blocco nella disequazione... il limite è il seguente: lim di x->-1 di (4x^2+1)/x^2 è uguale a 5
Risposte
Dovresti mostrare il tuo tentativo, in modo che si possa capire quale esattamente è la tua difficoltà. Comunque, dato che la verifica è domani, in via del tutto eccezionale ti do parte della soluzione.
Devi verificare che si ha
$5-epsilon<(4x^2+1)/x^2<5+epsilon$
Consideriamo la prima diseguaglianza: poiché $x^2$ è positivo, possiamo dare denominatore comune trascurando il denominatore; otteniamo
$5x^2-x^2 epsilon<4x^2+1$
$x^2(1-epsilon)<1$
Poiché $1-epsilon$ è positivo, possiamo dividere per esso ottenendo
$x^2<1/(1-epsilon)" "->" "-1/sqrt(1-epsilon)
In modo analogo risolvi la seconda disequazione; intersechi i due risultati e trovi che una delle soluzioni del sistema è un intorno completo di $1$. Nel fare il grafico del sistema tieni presente che, poiché $sqrt(1-epsilon)$ è un po' meno di 1, $1/sqrt(1-epsilon)$ è un po' più di 1.
Devi verificare che si ha
$5-epsilon<(4x^2+1)/x^2<5+epsilon$
Consideriamo la prima diseguaglianza: poiché $x^2$ è positivo, possiamo dare denominatore comune trascurando il denominatore; otteniamo
$5x^2-x^2 epsilon<4x^2+1$
$x^2(1-epsilon)<1$
Poiché $1-epsilon$ è positivo, possiamo dividere per esso ottenendo
$x^2<1/(1-epsilon)" "->" "-1/sqrt(1-epsilon)
In modo analogo risolvi la seconda disequazione; intersechi i due risultati e trovi che una delle soluzioni del sistema è un intorno completo di $1$. Nel fare il grafico del sistema tieni presente che, poiché $sqrt(1-epsilon)$ è un po' meno di 1, $1/sqrt(1-epsilon)$ è un po' più di 1.
Ciao Nicholas_ASR!
Se domani hai verifica...è un po' tardino per colmare alcuni dubbi ma di certo posso venirti in aiuto
.
Allora, immagino che la verifica del limite la vuoi fare in base alla definizione e, se non ho capito male, il tuo problema non è tanto come applicare la definizione ma piuttosto come ad arrivare ad una disequazione $0 < |x + 1| < \delta$ a partire da $-\epsilon < \frac{4x^2 + 1}{x^2} - 5 < \epsilon$.
Oltre al metodo proposto da giammaria si può procede anche nel modo seguente. Dopo aver fatto il minimo comune denominatore nell'espressione presente nella parte interna della disuguaglianza ottieni $-\epsilon < \frac{-x^2 + 1}{x^2} < \epsilon$. Ora basta che moltiplichi tutto per $-1$ (attento ad invertire i segni delle disuguaglianze!) e "spezzi" la frazione nella parte interna in modo da avere $-\epsilon < 1 - \frac{1}{x^2} < \epsilon$. Ora è semplicemente una questione di operazioni algebriche poichè è sufficiente, nell'ordine, rimoltiplicare per $-1$ il tutto, passare ai reciproci (attenzione in entrambi questi casi ad invertire i segni delle disuguaglianze!), passare alle radici quadrate (ponendo eventualmente le dovute condizioni) ed aggiungere infine $1$ a tutti i membri.
Fammi sapere se hai capito, spero di esserti stato d'aiuto. Buona verifica
!
Se domani hai verifica...è un po' tardino per colmare alcuni dubbi ma di certo posso venirti in aiuto
.Allora, immagino che la verifica del limite la vuoi fare in base alla definizione e, se non ho capito male, il tuo problema non è tanto come applicare la definizione ma piuttosto come ad arrivare ad una disequazione $0 < |x + 1| < \delta$ a partire da $-\epsilon < \frac{4x^2 + 1}{x^2} - 5 < \epsilon$.
Oltre al metodo proposto da giammaria si può procede anche nel modo seguente. Dopo aver fatto il minimo comune denominatore nell'espressione presente nella parte interna della disuguaglianza ottieni $-\epsilon < \frac{-x^2 + 1}{x^2} < \epsilon$. Ora basta che moltiplichi tutto per $-1$ (attento ad invertire i segni delle disuguaglianze!) e "spezzi" la frazione nella parte interna in modo da avere $-\epsilon < 1 - \frac{1}{x^2} < \epsilon$. Ora è semplicemente una questione di operazioni algebriche poichè è sufficiente, nell'ordine, rimoltiplicare per $-1$ il tutto, passare ai reciproci (attenzione in entrambi questi casi ad invertire i segni delle disuguaglianze!), passare alle radici quadrate (ponendo eventualmente le dovute condizioni) ed aggiungere infine $1$ a tutti i membri.
Fammi sapere se hai capito, spero di esserti stato d'aiuto. Buona verifica
!
Scusa non ho capito cos'è quel simbolo di dollaro che mi appare e il /frac? non riesco a capire alcune parti di testo..
E' il codice LaTeX utilizzato per scrivere le formule, usatissimo dai matematici. Se non riesci a vederlo correttamente vuol dire che devi abilitarlo o comunque modificare delle impostazioni del browser. Prova a controllare, ora non so dirti con estrema precisione...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo