Verificare questa Identità

[danybertana]

Ciao a tutti, non riesco a verificare questa identità:
$ sin^2alpha -sin^2beta = sin(alpha + beta )sin (alpha - beta) $

Dovrei usare le formule di Warner o di Prostaferesi

Ho pensato di fare così:
1°membro = $ (2cos(alpha +beta)/2 sin(alpha -beta )/2)^2 $
poi però non mi viene...

Qualcuno mi da una mano?

[giammaria2]

Se vuoi lavorare sul primo membro, allora devi fare
1° membro = $(sinalpha+sinbeta)(sinalpha-sinbeta)=...$
e solo a questo punto puoi applicare la prostaferesi: queste formule richiedono che ci sia la somma o differenza fra due seni o due coseni, senza potenze né altre complicazioni.

[minomic]

Altrimenti si può partire anche dal membro di destra e applicare le formule di somma e sottrazione: $$\sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta) = \left(\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\right)\left(\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\right) = $$ $$ = \sin^2\alpha\cos^2\beta - \cos^2\alpha\sin^2\beta = \sin^2 \alpha(1-\sin^2\beta)-(1-\sin^2\alpha)\sin^2\beta = $$ $$= \sin^2\alpha-\cancel{\sin^2\alpha\sin^2\beta}-\sin^2\beta+\cancel{\sin^2\alpha\sin^2\beta} = \sin^2\alpha-\sin^2\beta.$$

EDIT. Ho visto ora che dovevi utilizzare le formule di prostaferesi o di Werner...

[danybertana]

Grazie mille a tutti dell'aiuto!

[danybertana]

"giammaria":Se vuoi lavorare sul primo membro, allora devi fare
1° membro = $(sinalpha+sinbeta)(sinalpha-sinbeta)=...$
e solo a questo punto puoi applicare la prostaferesi: queste formule richiedono che ci sia la somma o differenza fra due seni o due coseni, senza potenze né altre complicazioni.

Mi viene così:
$ (2sin (alpha +beta )/2 * 2cos (alpha -beta) / 2)*(2cos (alpha +beta )/2 * 2sin (alpha -beta) / 2) $
ma poi facendo i calcoli non viene...

[minomic]

Hai messo dei $2$ di troppo. Ti ricordo una delle formule di prostaferesi: $$\sin p + \sin q = 2\ \sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}$$

[giammaria2]

Aggiungo che per una formula di duplicazione si ha $2sinxcosx=sin2x$.

[danybertana]

Ragazzi, a me viene:
$ (sin(alpha +beta )sin(alpha -beta ))/4 $

perchè ho 4 al denominatore? Dove sbaglio?

[giammaria2]

Credo che tu abbia tolto troppi $2$. Ti scrivo i calcoli giusti:
$sin^2alpha-sin^2beta=(sinalpha+sinbeta)(sinalpha-sinbeta)=$

$= 2sin frac(alpha+beta) 2cosfrac(alpha-beta) 2*2cosfrac(alpha+beta) 2 sinfrac(alpha-beta) 2=$

$= 2sin frac(alpha+beta) 2cosfrac(alpha+beta) 2*2cosfrac(alpha-beta) 2 sinfrac(alpha-beta) 2=$

$=sin(alpha+beta)sin(alpha-beta)$

Potevi anche partire dal secondo membro, con Werner. In questo caso per concludere usavi la formula $cos2alpha=1-2sin^2alpha$ e analoga.