Verificare le ipotesi del teorema di Rolle
Salve, io ho la funzione f(x)= | x²-2x | e mi si chiede di verificare se soddisfa le ipotesi del terorema di Rolle nell'intervallo I= [1-√2 ;1+√2]
La funzione è continua su R e quindi a maggior ragione lo è su I.
Il problema sorge per quanto riguarda la derivabilità, io ho capito che una funzione è derivabile in un intervallo se la sua derivata è continua in quell'intervallo.
Quindi vado a calcolare f'(x) che dovrebbe essere
2x - 2 se x ≤ 0 v x ≥ 2
-2x + 2 se 0 ≤ x ≤ 2
Premesso che la derivata che ho calcolato sia giusta, come procedo poi per capire se la funzione verifica le ipotesi di Rolle?
La funzione è continua su R e quindi a maggior ragione lo è su I.
Il problema sorge per quanto riguarda la derivabilità, io ho capito che una funzione è derivabile in un intervallo se la sua derivata è continua in quell'intervallo.
Quindi vado a calcolare f'(x) che dovrebbe essere
2x - 2 se x ≤ 0 v x ≥ 2
-2x + 2 se 0 ≤ x ≤ 2
Premesso che la derivata che ho calcolato sia giusta, come procedo poi per capire se la funzione verifica le ipotesi di Rolle?
Risposte
Cosa dice il teorema di Rolle? Sostanzialmente pone tre condizioni perché sia valido; sono rispettate queste condizioni?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
La derivata è giusta, a parte il fatto che nelle limitazioni non devi mettere gli uguali finché non hai la certezza che nei punti di separazione ci sia un unico valore (altrimenti esistono le derivate destra e sinistra ma non quella complessiva). Chiamando $f_1(x)$ la funzione valida per valori esterni ed $f_2(x)$ l'altra, hai
$f_1'(0)=-2;" "f_2'(0)=+2$: valori diversi, quindi $f(x)$ non è derivabile in $x=0$.
Analogamente verifichi che non è derivabile in $x=2$.
I due punti di non derivabilità stanno nell'intervallo o no?
$f_1'(0)=-2;" "f_2'(0)=+2$: valori diversi, quindi $f(x)$ non è derivabile in $x=0$.
Analogamente verifichi che non è derivabile in $x=2$.
I due punti di non derivabilità stanno nell'intervallo o no?
Non vorrei sbagliarmi, ma mi pare che le ipotesi del teorema di Rolle, nel caso specifico siano soddisfatte pienamente,
in quanto, come è stato giustamente detto la funzione $f=x^2-2x$, è continua e derivabile in tutto $R$, pertanto a maggior ragione é continua in tutto l'intervallo $I$, e derivabile nei punti interni di esso, inoltre si ha $f(1-2^(1/2))=f(1+2^(1/2))=1$,e quindi esiste certamente un punto interno a tale intervallo nel quale la derivata si annulla!
Se non sbaglio la derivata $2x-2$ si annulla per $x=1$ chiaramente interno all'intervallo $I$, quindi il punto cercato ha le seguenti cordinate $(1,-1)$.
Se ho sbagliato correggetemi pure, grazie!
Saluti!
in quanto, come è stato giustamente detto la funzione $f=x^2-2x$, è continua e derivabile in tutto $R$, pertanto a maggior ragione é continua in tutto l'intervallo $I$, e derivabile nei punti interni di esso, inoltre si ha $f(1-2^(1/2))=f(1+2^(1/2))=1$,e quindi esiste certamente un punto interno a tale intervallo nel quale la derivata si annulla!
Se non sbaglio la derivata $2x-2$ si annulla per $x=1$ chiaramente interno all'intervallo $I$, quindi il punto cercato ha le seguenti cordinate $(1,-1)$.
Se ho sbagliato correggetemi pure, grazie!
Saluti!
"francicko":
in quanto, come è stato giustamente detto la funzione $f=x^2-2x$, è continua e derivabile in tutto $R$,
Non è quella la funzione ma questa $f=|x^2-2x|$ che NON è derivabile in tutto l'intervallo ...
x@axpgn. Scusa hai ragione, ho letto erroneamente!
In questo caso è evidente che la funzione $f(x)=|x^2-2x|$ non soddisfa alla ipotesi del teorema di Rolle, che ha come condizione la derivabilità della funzione nei punti interni all'intervallo $[(1-2^(1/2))$ $,(1+2^(1/2))]$ ed nei due punti interni all'intervallo ,di ascissa $x=0$ ed $x=2$, la funzione non è derivabile, però se ci restringiamo all'intervallo $[0,2]$, allora in questo caso oltre ad essere $f(0)=f(2)$ la funzione è derivabile in ogni punto interno all'intervallo, e sarà la derivata prima $D(|x^2-2x|)=(2x-2)$ per ogni $x$ $in]0,2[$; Per il teorema di Rolle esisterà certamente un punto interno a tale intervallo , in cui si annulla tale derivata prima, esso è il punto di coordinate $(1,1)$, mi sbaglio?
In questo caso è evidente che la funzione $f(x)=|x^2-2x|$ non soddisfa alla ipotesi del teorema di Rolle, che ha come condizione la derivabilità della funzione nei punti interni all'intervallo $[(1-2^(1/2))$ $,(1+2^(1/2))]$ ed nei due punti interni all'intervallo ,di ascissa $x=0$ ed $x=2$, la funzione non è derivabile, però se ci restringiamo all'intervallo $[0,2]$, allora in questo caso oltre ad essere $f(0)=f(2)$ la funzione è derivabile in ogni punto interno all'intervallo, e sarà la derivata prima $D(|x^2-2x|)=(2x-2)$ per ogni $x$ $in]0,2[$; Per il teorema di Rolle esisterà certamente un punto interno a tale intervallo , in cui si annulla tale derivata prima, esso è il punto di coordinate $(1,1)$, mi sbaglio?
Però l'ntervallo in cui il problema chiede di verificare le ipotesi del teorema di Rolle, che è $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$, non contiene l'intervallo $ [0,2] $ perchè $2 > \frac{1}{2}$, per cui, rimanendo nell'ambito del problema, non è possibile restringersi a questo intervallo.
x@papageno.
Pùò darsi che io legga male, ma a me sembra che l'intervallo sia $[(1-2^(1/2)),$ $(1+2^(1/2))]$ se così fosse l'intervallo $[0,2]$ vi sarebbe contenuto in quanto $2<(1+2^(1/2))$.
Pùò darsi che io legga male, ma a me sembra che l'intervallo sia $[(1-2^(1/2)),$ $(1+2^(1/2))]$ se così fosse l'intervallo $[0,2]$ vi sarebbe contenuto in quanto $2<(1+2^(1/2))$.
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