Verifica sistema in k

[Seeker111]

Ho il sistema:
(k+1)x+(k+4)y-1=0
x+ky-2=0

e devo trovare per quali valori di k:
a) è indeterminato
b) è impossibile
c) è determinato

[nato_pigro1]

conosci il teorema di rouche-capelli?

[adaBTTLS1]

è molto più semplice: sono due rette nel piano cartesiano...
quando sono incidenti, quando sono parallele e distinte, quando sono coincidenti?
basta fare le proporzioni tra i coefficienti... ciao.

[Seeker111]

Non ho mai usato nessuno dei 2 sistemi che mi avete detto, sarei interessato a quello della proporzione, ma non vado più in la di un semplice (k+1):(k+4)=1:k

[adaBTTLS1]

quella proporzione va bene (io sono abituata a scriverla in verticale, nel senso con i medi scambiati , perché in quella maniera la possiamo scrivere tripla, anche con i termini noti...): se è verificata quella proporzione, vuol dire che il sistema non è determinato (devi vedere se è indeterminato o impossibile in base alla proporzione tra i termini noti), altrimenti il sistema è determinato.
mi spiego meglio:
risolvo la tua proporzione: $k^2+k=k+4 -> k^2=4 -> k=+-2$
se $k != +-2$, allora il sistema è determinato;

se $k=+2$
il sistema diventa: ${[3x+6y-1=0], [x+2y-2=0] :}$
come vedi i coefficienti di x ed y sono in proporzione, nel senso che quelli della prima equazione sono tripli di quelli della seconda. non vale però la stessa cosa per i termini noti, nel senso che -1 non è il triplo di -2. dunque le due equazioni non rappresentano la stessa retta ma rette parallele e distinte:
il sistema è impossibile

se $k=-2$
il sistema divente: ${[-x+2y-1=0], [x-2y-2=0] :}$
anche in questo caso valgono le stesse considerazioni fatte precedentemente: i coefficienti di x ed y sono in proporzione (in particolare opposti), i termini noti non sono nella stessa proporzione: dunque anche in questo caso il sistema è impossibile.

è chiaro? ciao.