Verifica limite
Devo verificare che $lim_(x->+oo)(2^x + xlnx)/(x+4^x) = 0$.
Applico la definizione: $|(2^x + xlnx)/(x+4^x)| < \epsilon$. Pertanto devo risolvere il seguente sistema: $(2^x +xlnx + \epsilon(x + 4^x))/(x+4^x) >0$ e $(2^x + xlnx -\epsilon(x + 4^x))/(x+4^x) < 0$.
Solitamente in questi casi riesco a fattorizzare numeratore e denominatore e a studiarmi il segno facilmente, ma questa volta trovo delle difficoltà. Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo.
Applico la definizione: $|(2^x + xlnx)/(x+4^x)| < \epsilon$. Pertanto devo risolvere il seguente sistema: $(2^x +xlnx + \epsilon(x + 4^x))/(x+4^x) >0$ e $(2^x + xlnx -\epsilon(x + 4^x))/(x+4^x) < 0$.
Solitamente in questi casi riesco a fattorizzare numeratore e denominatore e a studiarmi il segno facilmente, ma questa volta trovo delle difficoltà. Potreste aiutarmi?
Grazie in anticipo.
Risposte
Credo che questa verifica non si possa risolvere algebricamente come sei solito fare. Dovresti dimostrare che la funzione è sempre $>=0$ e poi trovare una maggiorante che abbia limite che tende a zero. Tipo
$g(x)=(2^x + 2^x)/(4^x) $
La funzione $g(x)$ è stata ottenuta maggiorando il numeratore e diminuendo il denominatore e per $x>0$, cioè dove esiste la $f(x)$, risulta che $g(x)>=f(x)$.
Verificare il limite per $g(x)$ dovrebbe essere abbastanza semplice.
$g(x)=(2^x + 2^x)/(4^x) $
La funzione $g(x)$ è stata ottenuta maggiorando il numeratore e diminuendo il denominatore e per $x>0$, cioè dove esiste la $f(x)$, risulta che $g(x)>=f(x)$.
Verificare il limite per $g(x)$ dovrebbe essere abbastanza semplice.
"@melia":
Credo che questa verifica non si possa risolvere algebricamente come sei solito fare. Dovresti dimostrare che la funzione è sempre $>=0$ e poi trovare una maggiorante che abbia limite che tende a zero. Tipo
$g(x)=(2^x + 2^x)/(4^x) $
La funzione $g(x)$ è stata ottenuta maggiorando il numeratore e diminuendo il denominatore e per $x>0$, cioè dove esiste la $f(x)$, risulta che $g(x)>=f(x)$.
Verificare il limite per $g(x)$ dovrebbe essere abbastanza semplice.
Quindi se verifico il limite di $g(x)$ automaticamente ho verificato il limite per $f(x)$? Il problema è come avrei potuto dimostrare che questa funzione fosse sempre $>0$ (forse rispolverando le equazioni esponenziali e logaritmiche dovrei farcela) e soprattutto come avrei potuto trovare un maggiorante di questa funzione.
Comunque in particolare mi sto preparando per un esame ed è anche possibile che abbia male interpretato l'esercizio e non dovessi verificarlo ma soltanto calcolarlo, però mi hai dato uno spunto su come verificare i limiti senza risolvere le disequazioni.
Se il testo riporta "verificare" e non aggiunge esplicitamente di verificare con la definizione, a rigor di logica puoi verificarlo come vuoi (anche calcolandolo). Effettivamente, in generale si chiede più esplicitamente di calcolare un limite se si intende di usare i risultati precedentemente dimostrati per verificare che valore reale esteso è un dato limite. Però, alla fine, pure usando la definizione il limite lo calcolo lo stesso, no? 
Insomma, si poteva sicuramente essere meno ambigui. In questo caso, io calcolerei il limite senza passare per la definizione $\epsilon$-$\delta_{\epsilon}$.
Volevo solo aggiungere che, nel caso di limite per $x\to+\infty$, sei interessato a sapere cosa succede quando $x$ diventa arbitrariamente grande; puoi quindi assumere, senza perdere generalità nel contesto del limite per $x\to+\infty$, che $x>1$ e quindi ottenere che $f(x)>0$ per $x\to+\infty$.
Quindi, visto che $f(x)>0$ per $x\to+\infty$, hai che $|f(x)-0|=|f(x)|=f(x)$; ti torna ora perché verificare che $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$ con $f(x) \le g(x)$ (almeno per "$x$ grandi") implica $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$?
Insomma, si poteva sicuramente essere meno ambigui. In questo caso, io calcolerei il limite senza passare per la definizione $\epsilon$-$\delta_{\epsilon}$.Volevo solo aggiungere che, nel caso di limite per $x\to+\infty$, sei interessato a sapere cosa succede quando $x$ diventa arbitrariamente grande; puoi quindi assumere, senza perdere generalità nel contesto del limite per $x\to+\infty$, che $x>1$ e quindi ottenere che $f(x)>0$ per $x\to+\infty$.
Quindi, visto che $f(x)>0$ per $x\to+\infty$, hai che $|f(x)-0|=|f(x)|=f(x)$; ti torna ora perché verificare che $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$ con $f(x) \le g(x)$ (almeno per "$x$ grandi") implica $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$?
"Mephlip":
Se il testo riporta "verificare" e non aggiunge esplicitamente di verificare con la definizione, a rigor di logica puoi verificarlo come vuoi (anche calcolandolo). Effettivamente, in generale si chiede più esplicitamente di calcolare un limite se si intende di usare i risultati precedentemente dimostrati per verificare che valore reale esteso è un dato limite. Però, alla fine, pure usando la definizione il limite lo calcolo lo stesso, no?
Volevo solo aggiungere che, nel caso di limite per $x\to+\infty$, sei interessato a sapere cosa succede quando $x$ diventa arbitrariamente grande; puoi quindi assumere, senza perdere generalità nel contesto del limite per $x\to+\infty$, che $x>1$ e quindi ottenere che $f(x)>0$ per $x\to+\infty$.
Quindi, visto che $f(x)>0$ per $x\to+\infty$, hai che $|f(x)-0|=|f(x)|=f(x)$; ti torna ora perché verificare che $\lim_{x\to+\infty} g(x)=0$ con $f(x) \le g(x)$ (almeno per "$x$ grandi") implica $\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$?
Se $g(x)>f(x)$ per ogni $x$ del dominio di entrambi e $lim_(x->+oo)g(x) = 0$ a maggior ragione $lim_(x->+oo) f(x) = 0$. Questo ragionamento mi tornava anche prima però in sede d'esame bisogna essere bravi a trovare una funzione che soddisfi quella relazione e a sapere che quel limite sia uguale a $0$. Se poi fosse stato un limite del tipo $lim_(x->x_0) f(x) = l$ si doveva essere ancora più bravi, perché si sarebbero dovute trovare 2 funzioni che hanno lo stesso limite di $f$ e che soddisfano le ipotesi del teorema del confronto.
La difficoltà sta in questo, comunque diciamo che ora non ho bisogno di diventare espertissimo in queste cose e preferisco concentrarmi per fare un ripassino generale sul programma
"HowardRoark":
Se $g(x)>f(x)$ per ogni $x$ del dominio di entrambi e $lim_(x->+oo)g(x) = 0$ a maggior ragione $lim_(x->+oo) f(x) = 0$
Occhio, scritto così non funziona. Nulla vieta ad $f$ di avere limite $l\le 0$ o che non esista il suo limite. Immagino intendessi nelle ipotesi di questo post in cui $f$ è effettivamente non negativa, e allora sì; ma l'ho voluto specificare comunque per non lasciarti eventuali dubbi.
"Mephlip":
[quote="HowardRoark"]
Se $g(x)>f(x)$ per ogni $x$ del dominio di entrambi e $lim_(x->+oo)g(x) = 0$ a maggior ragione $lim_(x->+oo) f(x) = 0$
Occhio, scritto così non funziona. Nulla vieta ad $f$ di avere limite $l\le 0$ o che non esista il suo limite. Immagino intendessi nelle ipotesi di questo post in cui $f$ è effettivamente non negativa, e allora sì; ma l'ho voluto specificare comunque per non lasciarti eventuali dubbi.
[/quote]Nella mia mente quella ipotesi c'era ma hai fatto benissimo a specificarlo. D'altronde formalizzare qualcosa in matematica è sempre molto delicato e se si tralasciano le ipotesi si rischia di dire delle inesattezze.
Per la positività di $f(x)$ non ci sono problemi per $x>1$ in quanto tutti i termini che compaiono sono positivi.
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