Verifica limite

[matematicus95]

devo verificare il seguente limite: $lim_{x\to\2}(1/(2+x))=1/4$ quindi applico la definizione e mi viene ${((2-x-8\epsilon-4\epsilonx)/(2-x)<0),((2-x+8\epsilon+4\epsilonx)/(2-x)>0):}$ ora quando le risolvo mi vengono due risultati con epsilon al denominatore come faccio a capire se é un intorno di 1/4?

[chiaraotta1]

"matematicus95":... $lim_{x\to\2}=1/4$ ....

Il limite di che funzione?

[matematicus95]

Ho modificato il messaggio,scusa per prima

[burm87]

Ma dove prendi i $2-x$ al denominatore?

Ad ogni modo a me viene così:

$-epsilon<1/(x+2)-1/4
$-epsilon<(2-x)/(4(x+2))
$-4epsilon<(2-x)/(x+2)<4epsilon$

$-4epsilonx-8epsilon<2-x<4epsilonx+8epsilon$

$-4epsilonx-8epsilon-2<-x<4epsilonx+8epsilon-2$

$-4epsilonx-8epsilon+2
Il sistema associato avrà come soluzione:

${(x>(2-8epsilon)/(1+4epsilon)),(x<(2+8epsilon)/(1-4epsilon)):}$

Che dovrebbe essere il tuo intorno di $2$. Non capisco perchè parlassi di un intorno di $1/4$.

[matematicus95]

come hai fatto a passare dal passaggio 3 al 4 che ne sai se x+2 e maggiore o minore di 0?

[burm87]

$x->2$. Non sono certo al 100% che si possa fare in realtà.

[matematicus95]

quindi?come faccio?

[Fregior]

Premesso che potevi procedere anche su questa via se non volevi avere questo dubbio:
$-epsilon<1/(x+2)-1/4 $-epsilon+1/4<1/(x+2) $...$


Comunque l'operazione fatta è lecita perché
$x+2$ quando $x->2$ è sicuramente positivo. Questo perché $x+2>0, \forall x \in R^+$ se $x->2$ possiamo tranquillamente ipotizzare che $x>0$ (perché ci avviciniamo a $2$) quindi $x+2$ possiamo senza indugi considerarlo positivo.