Verifica Iniettività
Salve a tutti,
circa questa funzione: $ sqrt(abs(x + 1) - 2x) $ vorrei verificare, senza disegnare il grafico, se è iniettiva.
Ho svolto così:
$ sqrt(abs(x_1 + 1) - 2x_1)=sqrt(abs(x_2 + 1) - 2x_2) $ , elevo entrambi i membri al quadrato
$ abs(x_1 + 1) - 2x_1=abs(x_2 + 1) - 2x_2 $ , semplifico e rimane
$ abs(x_1 + 1) =abs(x_2 + 1) $ , quindi risolvo le due equazioni
$ { ( x_1 + 1 =x_2 + 1 ),( x_1 + 1 =-x_2 - 1 ):} $
La prima condizione è soddisfatta e la seconda no, pertanto la funzione non è iniettiva (in modo analogo se ci fosse stato il simbolo $!=$ anziché $=$).
Procedimento corretto?
Grazie.
circa questa funzione: $ sqrt(abs(x + 1) - 2x) $ vorrei verificare, senza disegnare il grafico, se è iniettiva.
Ho svolto così:
$ sqrt(abs(x_1 + 1) - 2x_1)=sqrt(abs(x_2 + 1) - 2x_2) $ , elevo entrambi i membri al quadrato
$ abs(x_1 + 1) - 2x_1=abs(x_2 + 1) - 2x_2 $ , semplifico e rimane
$ abs(x_1 + 1) =abs(x_2 + 1) $ , quindi risolvo le due equazioni
$ { ( x_1 + 1 =x_2 + 1 ),( x_1 + 1 =-x_2 - 1 ):} $
La prima condizione è soddisfatta e la seconda no, pertanto la funzione non è iniettiva (in modo analogo se ci fosse stato il simbolo $!=$ anziché $=$).
Procedimento corretto?
Grazie.
Risposte
Mancano le fondamentali condizioni di esistenza e il conseguente controllo che la seconda soluzione che hai trovato, quella che contraddice l'iniettività, sia accettabile.
Infatti è iniettiva, non so cosa ho visto..
Quindi la seconda equazione non avrà soluzioni accettabili. Come faccio a verificarlo?
Quindi la seconda equazione non avrà soluzioni accettabili. Come faccio a verificarlo?
Comincia con le condizioni di esistenza, indispensabili in ogni esercizio di matematica.
Il dominio è $(-\infty,1]$. Adesso?
Ho cancellato il messaggio perché c'erano degli errori di calcolo che si riflettavano in errori concettuali.
Perchè su Geogebra il grafico arriva fino a $1$? L'ho visto adesso, ma l'ho svolto prima analiticamente..
A me il dominio resta quello. Se sostituissi $x=1$ la funzione verrebbe zero, quindi niente di strano.Perchè allora quel dominio??
Hai ragione, avevo sbagliato un segno, non solo, mi ero anche fidata del tuo studio dell'iniettività.
Torno al sistema iniziale
$ sqrt(abs(x_1 + 1) - 2x_1)=sqrt(abs(x_2 + 1) - 2x_2) $ elevare al quadrato va benone
$ abs(x_1 + 1) - 2x_1=abs(x_2 + 1) - 2x_2 $ ma qui esattamente che cosa semplifichi? $x_1$ con $x_2$?
devi fare i tre casi
Se $x_1<=x_2<= -1$ e l'esercizio diventa $-x_1-1-2x_1= -x_2-1-2x_2$
Se $x_1<= -1<=x_2<= 1$ e l'esercizio diventa $-x_1-1-2x_1= +x_2+1-2x_2$
Se $-1<=x_1<=x_2<= 1$ e l'esercizio diventa $+x_1+1-2x_1= +x_2+1-2x_2$
Nel primo e terzo caso l'iniettività è evidente, l'unico caso degno di studio è il secondo in cui
$x_2-3x_1= 2$, per $x_1<= -1<=x_2<= 1$, è verificato solo se $x_1=x_2= -1$
Torno al sistema iniziale
$ sqrt(abs(x_1 + 1) - 2x_1)=sqrt(abs(x_2 + 1) - 2x_2) $ elevare al quadrato va benone
$ abs(x_1 + 1) - 2x_1=abs(x_2 + 1) - 2x_2 $ ma qui esattamente che cosa semplifichi? $x_1$ con $x_2$?
devi fare i tre casi
Se $x_1<=x_2<= -1$ e l'esercizio diventa $-x_1-1-2x_1= -x_2-1-2x_2$
Se $x_1<= -1<=x_2<= 1$ e l'esercizio diventa $-x_1-1-2x_1= +x_2+1-2x_2$
Se $-1<=x_1<=x_2<= 1$ e l'esercizio diventa $+x_1+1-2x_1= +x_2+1-2x_2$
Nel primo e terzo caso l'iniettività è evidente, l'unico caso degno di studio è il secondo in cui
$x_2-3x_1= 2$, per $x_1<= -1<=x_2<= 1$, è verificato solo se $x_1=x_2= -1$
Tontolone che sono.. quindi per il secondo caso mi rifaccio al discorso fatto nei messaggi prima.. bene grazie!
Esatto, e scusami se ti ho fatto un po' di confusione.
No ma ci mancherebbe, è così che si rimane attenti 
!
Grazie!
!Grazie!
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