Verifica di una rappresentazione parametrica
Salve, ho un brutto nodo nel risolvere questo esercizio, ma penso che il mi problema sia di tipo algebrico;
l'esercizio in questione è il seguente:
Verifica che la rappresentazione parametrica della curva di equazione
$x^3+y^3-3axy=0$ è ${ ( x=[3at]/[1+t^3] ),( y=[3at^2]/[1+t^3] ):}$
La prima cosa che mi viene in mente è quella (ho scelto la seconda equazione) di trovarla rispetto a $t$ per poi sostiturila al posto di $t$ nella prima.
Il mio problema, è quello di risolvere $y=[3at^2]/[1+t^3]$ rispetto a $t$.
Nello specifico arrivo a:
$y+yt^3=3at^2$
ma poi per arrivare a $t=...$ non ci riesco ... c'è quel $(1+t^3)$ che sto cominciando ad odiare
un aiutino ???
Grazie mille
l'esercizio in questione è il seguente:
Verifica che la rappresentazione parametrica della curva di equazione
$x^3+y^3-3axy=0$ è ${ ( x=[3at]/[1+t^3] ),( y=[3at^2]/[1+t^3] ):}$
La prima cosa che mi viene in mente è quella (ho scelto la seconda equazione) di trovarla rispetto a $t$ per poi sostiturila al posto di $t$ nella prima.
Il mio problema, è quello di risolvere $y=[3at^2]/[1+t^3]$ rispetto a $t$.
Nello specifico arrivo a:
$y+yt^3=3at^2$
ma poi per arrivare a $t=...$ non ci riesco ... c'è quel $(1+t^3)$ che sto cominciando ad odiare
un aiutino ???
Grazie mille
Risposte
Premetto che potrei sparare delle grosse cavolate però cercherò di darti una mano.
Per quanto ne so, non c'è un metodo univoco per passare da una forma all'altra: puoi porre $x$ (o $y$) uguale a $t$ nella prima per vedere se ti trovi la seconda oppure risolvere una delle due incognite rispetto a $t$ nella seconda per vedere se trovi la prima.
In questo caso - secondo me - non si va da nessuna parte in entrambi i casi. Tuttavia, si può aguzzare un po' l'ingegno perché il secondo è pur sempre un sistema anche se rappresenta una scrittura parametrica.
Puoi notare, per esempio, che $y=xt$ (dalla prima hai che $x=\frac{3at}{1+t^3}$ quindi nella seconda hai $y=\frac{3at^2}{1+t^3}=t \frac{3at}{1+t^3}=tx$).
Con questa osservazione, ottieni $t=\frac{y}{x}$... puoi provare a sostituire questa cosa nella relazione tra $x$ e $t$...
Comunque ripeto: non garantisco nulla, ho provato solo ad aguzzare la vista ma non so se porta da qualche parte!
Per quanto ne so, non c'è un metodo univoco per passare da una forma all'altra: puoi porre $x$ (o $y$) uguale a $t$ nella prima per vedere se ti trovi la seconda oppure risolvere una delle due incognite rispetto a $t$ nella seconda per vedere se trovi la prima.
In questo caso - secondo me - non si va da nessuna parte in entrambi i casi. Tuttavia, si può aguzzare un po' l'ingegno perché il secondo è pur sempre un sistema anche se rappresenta una scrittura parametrica.
Puoi notare, per esempio, che $y=xt$ (dalla prima hai che $x=\frac{3at}{1+t^3}$ quindi nella seconda hai $y=\frac{3at^2}{1+t^3}=t \frac{3at}{1+t^3}=tx$).
Con questa osservazione, ottieni $t=\frac{y}{x}$... puoi provare a sostituire questa cosa nella relazione tra $x$ e $t$...
Comunque ripeto: non garantisco nulla, ho provato solo ad aguzzare la vista ma non so se porta da qualche parte!
"Zero87":
Con questa osservazione, ottieni $t=\frac{y}{x}$... puoi provare a sostituire questa cosa nella relazione tra $x$ e $t$...
sei un mago Zero ! funziona alla grande!
"giogiomogio":
sei un mago Zero !
Ho solo aguzzato un po' la vista. Per il resto è solo... chiamiamola fortuna per non dire un'espressione tipica del gergo italiano!
Se hai a che fare con esercizi simili pensa sempre al fatto che, in fondo, la scrittura parametrica è pur sempre un sistema.
curiosità:
in questo caso si può passare dalla forma implicita a quella esplicita ?
io penso di no.. in quanto la stessa $x$ in alcuni punti ha più immagini ...
ma meglio chiedere.
-edit con ripensamento-
sicuramente avrò una funzione di 3 grado dove per ogni x che immetto posso avere un massimo di 3 immagni
che ne dite?
infatti nel caso $a=4$
$x^3+y^3-12xy=0$
la posso scrivere anche
$y^3-12xy=-x^3$
ora se $x=1$
avrò
$y^3-12y=-1$
quindi
$y^3-12y+1=0$
e quindi gli zeri di $x^3-12x+1=0$
saranno le immagini della funzione implicita con $x=1$ e quindi se parliamo di immagini le fameliche $y$
Grazie
in questo caso si può passare dalla forma implicita a quella esplicita ?
io penso di no.. in quanto la stessa $x$ in alcuni punti ha più immagini ...
ma meglio chiedere.
-edit con ripensamento-
sicuramente avrò una funzione di 3 grado dove per ogni x che immetto posso avere un massimo di 3 immagni
che ne dite?
infatti nel caso $a=4$
$x^3+y^3-12xy=0$
la posso scrivere anche
$y^3-12xy=-x^3$
ora se $x=1$
avrò
$y^3-12y=-1$
quindi
$y^3-12y+1=0$
e quindi gli zeri di $x^3-12x+1=0$
saranno le immagini della funzione implicita con $x=1$ e quindi se parliamo di immagini le fameliche $y$
Grazie
Non ci ho capito moltissimo, però magari ci si può restringere (con qualche accorgimento) ai rami "iniettivi" della funzione, cioè dove ad ogni $x$ corrisponde una sola $y$...
Intendevo che, ogni $x$ puo avere al massimo $3$ immagini... quindi troverò una funzione di 3 grado ... che mi darà da 0 a 3 immagini per ogni $x$ ... ho provato e funziona alla grande 
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