Verifica di un Limite.

[jellybean22]

Buona sera a tutti, avrei un problema con la verifica del seguente limite:
$lim_(x->+infty)(5/(1-x^2))=0$
$-epsilon<5/(1-x^2) Risolvo le disequazioni singolarmente. E metto le soluzioni a sistema, dalle quali però non ottengo un $I(+infty)$.
PS: durante la risoluzione delle singole disequazioni, ad un certo punto devo limitare i valori della $epsilon$ a causa della presenza di alcuni radicali, è possibile ciò?

Grazie a tutti!

[@melia]

È possibile, ma le limitazioni per $epsilon$ devono essere solo superiori. La frase "con $epsilon >0$ piccolo a piacere" significa proprio questo, potrai avere limitazioni tipo $epsilon <1$, ma mai tipo $epsilon >1/1000$

[chiaraotta1]

"Francesco.93":Buona sera a tutti, avrei un problema con la verifica del seguente limite:
$lim_(x->+infty)(5/(1-x^2))=0$
$-epsilon<5/(1-x^2) Risolvo le disequazioni singolarmente. E metto le soluzioni a sistema, dalle quali però non ottengo un $I(+infty)$.
PS: durante la risoluzione delle singole disequazioni, ad un certo punto devo limitare i valori della $epsilon$ a causa della presenza di alcuni radicali, è possibile ciò?

Grazie a tutti!

Per dimostrare il limite devi risolvere $|5/(1-x^2)|N>0$.
Un modo abbastanza semplice di farlo mi sembra che potrebbe essere questo:
$|5/(1-x^2)| $5/(|1-x^2|) $|1-x^2|>5/epsilon$
$|x^2-1|>5/epsilon$
$x^2-1>5/epsilon uu x^2-1<-5/epsilon$.
La prima dà le soluzioni che si cercano:
$x^2>1+5/epsilon->x<-sqrt(1+5/epsilon) vv x>sqrt(1+5/epsilon)$, oppure $|x|>sqrt(1+5/epsilon)$.
Posto $N=sqrt(1+5/epsilon)$, ci sono soluzioni del tipo $x>N>0$ e quindi il limite è dimostrato.

Edit: Fatta qualche correzione: avevo letto (male) che fosse $lim_(x->infty)(5/(1-x^2))=0$, mentre era $lim_(x->+infty)(5/(1-x^2))=0$.

[jellybean22]

@melia: mi sa che sbaglio qualcosa allora... perché a me dalla prima disequazione $5/(1-x^2)5$ e mi sembra contro quello che hai detto.

Chiararotta: non bisognerebbe prendere in considerazione anche il denominatore prima di fare il reciproco della disequazione? E poi $I(+infty)$ non andrebbe trovato quando alla fine vengono messe a sistema le soluzioni delle due disequazioni?

Grazie delle risposte!

[chiaraotta1]

"Francesco.93":
non bisognerebbe prendere in considerazione anche il denominatore prima di fare il reciproco della disequazione?

Il denominatore dell'espressione iniziale ovviamente entra in gioco, ma solo per determinare il dominio ($x!=+-1$). Quello che tu chiami "fare il reciproco della disequazione" in realtà consiste nel moltiplicare la disequazione per $|1-x^2|$ che certamente è $>0$ e nel dividerla per $epsilon$, che pure è $>0$. Queste operazioni sono lecite.

"Francesco.93":
E poi $I(+infty)$ non andrebbe trovato quando alla fine vengono messe a sistema le soluzioni delle due disequazioni?

Non c'è un sistema di due disequazioni, ma solo due disequazioni indipendenti. Per trovare tutte le soluzioni delle due disequazioni dovrei tare l'unione delle soluzioni di ognuna. Solo che a me non interessa trovarle tutte, mi basta aver trovato quelle che mi servono per verificare che il limite è giusto.

[jellybean22]

Perfetto, tutto chiaro! Grazie mille