Verifica di un limite

[Bambolina*14]

Salve avrei da verificare questo limite:
$lim_(x->5)((3x)/(x-2)$
ho fatto il sistema e mi esce:
$\{((10-2x)/(x-2)<\epsilon),((10-2x)/(x-2)> -\epsilon):}$
ma poi mi viene:
$\epsilonx e 2\epsilon$ dove ho sbagliato?

[chiaraotta1]

"Bambolina*":...
ma poi mi viene:
$\epsilonx e 2\epsilon$ dove ho sbagliato?

Scusa, ma non capisco. Puoi chiarire?

[Bambolina*14]

non so come continuare

[Sk_Anonymous]

Si tratta di un sistema di disequazioni parametriche. Dopo averle ridotte in forma normale, per semplificare i calcoli, ricordati che sei interessata a determinare un intorno di $x=5$, quindi puoi considerare il denominatore positivo, e che i valori importanti di $\epsilon$ sono quelli piccoli e positivi, quindi puoi evitare la discussione quando, presumibilmente, dovrai dividere per un coefficiente dipendente da $\epsilon$.

[Bambolina*14]

e quindi come dovrei fare?

[Sk_Anonymous]

Ho integrato il mio precedente messaggio.

[chiaraotta1]

Io proporrei di fare così ....
Per dimostrare che $lim_(x->5)(3x)/(x-2)=5$, dovresti verificare che, fra le soluzioni di $|(3x)/(x-2)-5|0$, c'è un intorno di $5$.

Ora
$|(3x)/(x-2)-5|=|(3x-5x+10)/(x-2)|=|(-2x+10)/(x-2)|=2|(5-x)/(x-2)|=2|(3+2-x)/(x-2)|=2|3/(x-2)+(2-x)/(x-2)|=2|3/(x-2)-1|$,
quindi la disequazione da risolvere ($|(3x)/(x-2)-5|
Allora la disequazione diventa
$|3/(x-2)-1| $-epsilon/2<3/(x-2)-1 $1-epsilon/2<3/(x-2)<1+epsilon/2$
$(2-epsilon)/2<3/(x-2)<(2+epsilon)/2$
$(2-epsilon)/6<1/(x-2)<(2+epsilon)/6$.

Per $x>2$ e $epsilon<2$ puoi moltiplicare per $(x-2)$ e dividere per $(2-epsilon)$. Così ottieni
$6/(2+epsilon) perciò infine le soluzioni sono
$2+6/(2+epsilon)
Poiché $6/(2+epsilon)<3$, allora $2+6/(2+epsilon)<5$; inoltre $6/(2-epsilon)>3$ e quindi $2+6/(2-epsilon)>5$.
Perciò le soluzioni costituiscono un intorno di $5$ e il limite è verificato.