Verifica di un limite

[maghetta7812]

Salve, ho un dubbio riguardante un esercizio che chiede di verificare il seguente limite:

$lim_(x->+infty)(3x-1)/x = 3$

Ho messo $(3x-1)/(x) -3 $ sotto valore assoluto minore di $\epsilon$
svolgendo i calcoli mi risulta

$(1)/(\epsilon)
il libro però mette come risultato solo $x<-(1)/(\epsilon)$, come mai?

[@melia]

$ |(3x-1)/(x) -3 | -epsilon):}$ facendo i calcoli ottieni $\{((-1-epsilonx)/(x) < 0),((epsilonx-1)/(x) >0):}$

una volta risolte le disequazioni fratte, ricorda che nelle disequazioni NON puoi elidere i denominatori, hai
$\{(x<-1/epsilon vv x > 0),(x<0 vvx>1/epsilon):}$, risolvendo il sistema ottieni i due intervalli

$x<-1/epsilon$ e $x>1/epsilon$, il primo è un intorno di $-oo$ e il secondo, quello che ti interessa, è l'intorno cercato di $+oo$.

Il primo intervallo che hai ottenuto sta a significare che anche il limite $ lim_(x->-infty)(3x-1)/x = 3 $ è verificato.

[maghetta7812]

ma allora perché il risultato del libro è l'intorno di -∞ se sto cercando quello di +∞ ?

[@melia]

Qual è la domanda esatta?

[maghetta7812]

[@melia]

Ma ti pare che sia scritto che il limite va a $+oo$? Io leggo $-oo$.

Quindi dobbiamo verificare che $ lim_(x->-infty)(3x-1)/x = 3 $. Il procedimento è lo stesso identico a quello di prima, cambiano solo le conclusioni.
Una volta ottenute le soluzioni del sistema $ x<-1/epsilon $ e $ x>1/epsilon $ il primo è un intorno di $-oo$, quello che ti interessa, è l'intorno cercato.

Il secondo è un intorno di $+oo$ che al momento non ci interessa, ma significa che anche $ lim_(x->+infty)(3x-1)/x = 3 $

[maghetta7812]

Ah okay, piccola svista..ho capito!! Grazie