Verifica di un lim
salve a tutti,
verificare che $lim_(x->2)(log_(1/3)(x+1))=-1$ richiede di dimostrare che, per ogni $\ epsilon$ arbitrario risulta:
$-\epsilon$ $ < log_(1/3)(x+1) +1 <$ $\epsilon$ ossia, applicando la def. di log e una sua proprietà,
$-\epsilon$ $
E qui mi sono impantanato, anche se mi pare evidente che $log_(1/3)(x+1)=-1$ è una uguaglianza equivalente a $x+1=3$, per$ x->2$.
Suggerimenti?
verificare che $lim_(x->2)(log_(1/3)(x+1))=-1$ richiede di dimostrare che, per ogni $\ epsilon$ arbitrario risulta:
$-\epsilon$ $ < log_(1/3)(x+1) +1 <$ $\epsilon$ ossia, applicando la def. di log e una sua proprietà,
$-\epsilon$ $
E qui mi sono impantanato, anche se mi pare evidente che $log_(1/3)(x+1)=-1$ è una uguaglianza equivalente a $x+1=3$, per$ x->2$.
Suggerimenti?
Risposte
da questa
$-\epsilon < log_(1/3)(x+1) +1 < \epsilon$ sottraendo 1 a ciascun membro ottengo
$-\epsilon -1 < log_(1/3)(x+1) < \epsilon -1$ adesso passo tutto alla potenza di $1/3$, che essendo decrescente inverte le disuguaglianze
$(1/3)^(-\epsilon -1) >(x+1) >(1/3)^( \epsilon -1)$ la scrivo in ordine inverso
$(1/3)^( \epsilon -1) < x+1 < (1/3)^(-\epsilon -1) $ cambio di segno gli esponenti e faccio il reciproco delle basi
$3^( 1- \epsilon ) < x+1 < 3^(1+\epsilon ) $ sottraggo 1 a ciascun membro
$3^( 1- \epsilon ) -1 < x < 3^(1+\epsilon ) -1 $ che è l'intorno cercato di 2
$-\epsilon < log_(1/3)(x+1) +1 < \epsilon$ sottraendo 1 a ciascun membro ottengo
$-\epsilon -1 < log_(1/3)(x+1) < \epsilon -1$ adesso passo tutto alla potenza di $1/3$, che essendo decrescente inverte le disuguaglianze
$(1/3)^(-\epsilon -1) >(x+1) >(1/3)^( \epsilon -1)$ la scrivo in ordine inverso
$(1/3)^( \epsilon -1) < x+1 < (1/3)^(-\epsilon -1) $ cambio di segno gli esponenti e faccio il reciproco delle basi
$3^( 1- \epsilon ) < x+1 < 3^(1+\epsilon ) $ sottraggo 1 a ciascun membro
$3^( 1- \epsilon ) -1 < x < 3^(1+\epsilon ) -1 $ che è l'intorno cercato di 2
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