Verifica di un estremo superiore

[ipaxo]

ciao,

mi aiutate in questo esercizio?

dimostra che 1 è l'estremo superiore di \(\displaystyle A = \left\{x=\frac{n+3}{4n}, n \in N - \left\{0\right\}\right\} \)

[kobeilprofeta]

Intanto fai vedere che è un maggiorante

[ipaxo]

"kobeilprofeta":Intanto fai vedere che è un maggiorante

ho dimostrato le due proprietà. la prima:

\(\displaystyle \frac{n+3}{4n}\leq1 \Rightarrow \frac{n+3 - 4n}{4n} \leq 0 \Rightarrow \frac{-3n+3}{4n} \leq0 \Rightarrow \frac{3n-3}{4n} \geq0 \Rightarrow n\geq1 \)

e la seconda:

\(\displaystyle 1-\epsilon < \frac{n+3}{4n} \rightarrow 4n - 4n\epsilon < n+3 \rightarrow 3n-4n\epsilon<3 \rightarrow n(3-4\epsilon)<3 \rightarrow n> \frac{3}{3-4\epsilon} \)

solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)

è giusto il procedimento??

non capisco le conclusioni che si possono trarre dalla seconda...

in realtà, visto che \(\displaystyle \frac{n+3}{4n}=1 \rightarrow n+3= 4n \rightarrow 3n = 3 \rightarrow n=1 \), 1 è un elemento dell'insieme quindi massimo e quindi estremo superiore!!

ma la seconda disuguaglianza di sopra non dovrebbe comunque avere un senso??

[Armstrong]

"MtoF":[quote="kobeilprofeta"]Intanto fai vedere che è un maggiorante

ho dimostrato le due proprietà. la prima:

\(\displaystyle \frac{n+3}{4n}\leq1 \Rightarrow \frac{n+3 - 4n}{4n} \leq 0 \Rightarrow \frac{-3n+3}{4n} \leq0 \Rightarrow \frac{3n-3}{4n} \geq0 \Rightarrow n\geq1 \)

e la seconda:

\(\displaystyle 1-\epsilon < \frac{n+3}{4n} \rightarrow 4n - 4n\epsilon < n+3 \rightarrow 3n-4n\epsilon<3 \rightarrow n(3-4\epsilon)<3 \rightarrow n< \frac{3}{3-4\epsilon} \)

è giusto il procedimento??

non capisco le conclusioni che si possono trarre dalla seconda...

in realtà, visto che \(\displaystyle \frac{n+3}{4n}=1 \rightarrow n+3= 4n \rightarrow 3n = 3 \rightarrow n=1 \), 1 è un elemento dell'insieme quindi massimo e quindi estremo superiore!!

ma la seconda disuguaglianza di sopra non dovrebbe comunque avere un senso??[/quote]


Provo a risponderti,ma attendi conferme da utenti più esperti.
Per verificare che $ SUPA=1$ è necessario dimostrare per prima cosa che $1$ è un maggiorante di $A$ ovvero come hai correttamente svolto nella prima disequazione che
$(n+3)/(4n)<=1,AA n in N-{0}$

Successivamente occorre dimostrare che 1 è il più piccolo maggiorante di $A$ ovvero se si considera
$S=SUPA$, che
$AA epsilon >0, EE ain A: (S-epsilon) Che si traduce a "parole" che preso un qualsiasi $epsilon>0$ esiste un elemento dell'insieme $A$ che è $< S-epsilon$,ossia che $S -epsilon$ non è un maggiorante.

Nel caso specifico il candidato $S=1$ e svolgendo la seconda disequazione hai trovato un elemento appartenente all'insieme $A$ che è $< S-epsilon$.

Quindi $SUPA=1 $ ed è anche il $maxA$.

[ipaxo]

sì, va bene, ma non risolvi il mio dubbio, che cerco di spiegare meglio:

con i calcoli si trova

\(\displaystyle n(3-4\epsilon)<3 \)

da cui segue che basterà prendere

\(\displaystyle n > \frac{3}{3-4\epsilon} \) solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)

dunque la possibilità di trovare \(\displaystyle n \) ce l'avrei solo per \(\displaystyle \epsilon > \frac{3}{4} \) e non per ogni \(\displaystyle \epsilon >0\) come vuole la definizione!!

dove sbaglio?

[igiul1]

"MtoF":sì, va bene, ma non risolvi il mio dubbio, che cerco di spiegare meglio:

con i calcoli si trova

\(\displaystyle n(3-4\epsilon)<3 \)

da cui segue che basterà prendere

\(\displaystyle n > \frac{3}{3-4\epsilon} \) solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)

dunque la possibilità di trovare \(\displaystyle n \) ce l'avrei solo per \(\displaystyle \epsilon > \frac{3}{4} \) e non per ogni \(\displaystyle \epsilon >0\) come vuole la definizione!!

dove sbaglio?

Attento ai simboli

$n<3/(3-4epsilon)$

e ... poi $epsilon<3/4$

[ipaxo]

"igiul":[quote="MtoF"]sì, va bene, ma non risolvi il mio dubbio, che cerco di spiegare meglio:

con i calcoli si trova

\(\displaystyle n(3-4\epsilon)<3 \)

da cui segue che basterà prendere

\(\displaystyle n > \frac{3}{3-4\epsilon} \) solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)

dunque la possibilità di trovare \(\displaystyle n \) ce l'avrei solo per \(\displaystyle \epsilon > \frac{3}{4} \) e non per ogni \(\displaystyle \epsilon >0\) come vuole la definizione!!

dove sbaglio?

Attento ai simboli

$n<3/(3-4epsilon)$

e ... poi $epsilon<3/4$[/quote]

in che senso "attento ai simboli"?? se divido per un'espressione negativa devo cambiare il verso della disuguaglianza..

[@melia]

Per $epsilon >3/4$ ci siamo, viene $n> 3/(3-4epsilon)$ che è una semiretta crescente e di valori di n ne troviamo quanti vogliamo.

Per $epsilon =3/4$ ci siamo ancora perché viene $0<3$ verificato per ogni n

Per $epsilon <3/4$ viene $n< 3/(3-4epsilon)$ e c'è almeno un valore di n che soddisfa la disequazione è $n=1$

[ipaxo]

"@melia":Per $epsilon >3/4$ ci siamo, viene $n> 3/(3-4epsilon)$ che è una semiretta crescente e di valori di n ne troviamo quanti vogliamo.

Per $epsilon =3/4$ ci siamo ancora perché viene $0<3$ verificato per ogni n

Per $epsilon <3/4$ viene $n< 3/(3-4epsilon)$ e c'è almeno un valore di n che soddisfa la disequazione è $n=1$

Bene! è proprio questo che volevo sapere. devo dunque discutere tutti i casi!! volevo esserne sicuro, perché non ho mai trovato un esercizio svolto di questo tipo.

[@melia]

Non è necessario che tutti i casi siano discussi, basta quello per $epsilon >0$ piccola a piacere, cioè per $epsilon$ appartenente ad un intorno destro di 0.

[ipaxo]

"@melia":Non è necessario che tutti i casi siano discussi, basta quello per $epsilon >0$ piccola a piacere, cioè per $epsilon$ appartenente ad un intorno destro di 0.

ah, ecco perché?

dunque riguardo all'esercizio precedente il caso da discutere è quello per \(\displaystyle 0<\epsilon < \frac{3}{4} \) ?

[@melia]

esattamente