Verifica di un estremo superiore
ciao,
mi aiutate in questo esercizio?
dimostra che 1 è l'estremo superiore di \(\displaystyle A = \left\{x=\frac{n+3}{4n}, n \in N - \left\{0\right\}\right\} \)
mi aiutate in questo esercizio?
dimostra che 1 è l'estremo superiore di \(\displaystyle A = \left\{x=\frac{n+3}{4n}, n \in N - \left\{0\right\}\right\} \)
Risposte
Intanto fai vedere che è un maggiorante
"kobeilprofeta":
Intanto fai vedere che è un maggiorante
ho dimostrato le due proprietà. la prima:
\(\displaystyle \frac{n+3}{4n}\leq1 \Rightarrow \frac{n+3 - 4n}{4n} \leq 0 \Rightarrow \frac{-3n+3}{4n} \leq0 \Rightarrow \frac{3n-3}{4n} \geq0 \Rightarrow n\geq1 \)
e la seconda:
\(\displaystyle 1-\epsilon < \frac{n+3}{4n} \rightarrow 4n - 4n\epsilon < n+3 \rightarrow 3n-4n\epsilon<3 \rightarrow n(3-4\epsilon)<3 \rightarrow n> \frac{3}{3-4\epsilon} \)
solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)
è giusto il procedimento??
non capisco le conclusioni che si possono trarre dalla seconda...
in realtà, visto che \(\displaystyle \frac{n+3}{4n}=1 \rightarrow n+3= 4n \rightarrow 3n = 3 \rightarrow n=1 \), 1 è un elemento dell'insieme quindi massimo e quindi estremo superiore!!
ma la seconda disuguaglianza di sopra non dovrebbe comunque avere un senso??
"MtoF":
[quote="kobeilprofeta"]Intanto fai vedere che è un maggiorante
ho dimostrato le due proprietà. la prima:
\(\displaystyle \frac{n+3}{4n}\leq1 \Rightarrow \frac{n+3 - 4n}{4n} \leq 0 \Rightarrow \frac{-3n+3}{4n} \leq0 \Rightarrow \frac{3n-3}{4n} \geq0 \Rightarrow n\geq1 \)
e la seconda:
\(\displaystyle 1-\epsilon < \frac{n+3}{4n} \rightarrow 4n - 4n\epsilon < n+3 \rightarrow 3n-4n\epsilon<3 \rightarrow n(3-4\epsilon)<3 \rightarrow n< \frac{3}{3-4\epsilon} \)
è giusto il procedimento??
non capisco le conclusioni che si possono trarre dalla seconda...
in realtà, visto che \(\displaystyle \frac{n+3}{4n}=1 \rightarrow n+3= 4n \rightarrow 3n = 3 \rightarrow n=1 \), 1 è un elemento dell'insieme quindi massimo e quindi estremo superiore!!
ma la seconda disuguaglianza di sopra non dovrebbe comunque avere un senso??[/quote]
Provo a risponderti,ma attendi conferme da utenti più esperti.
Per verificare che $ SUPA=1$ è necessario dimostrare per prima cosa che $1$ è un maggiorante di $A$ ovvero come hai correttamente svolto nella prima disequazione che
$(n+3)/(4n)<=1,AA n in N-{0}$
Successivamente occorre dimostrare che 1 è il più piccolo maggiorante di $A$ ovvero se si considera
$S=SUPA$, che
$AA epsilon >0, EE ain A: (S-epsilon) Che si traduce a "parole" che preso un qualsiasi $epsilon>0$ esiste un elemento dell'insieme $A$ che è $< S-epsilon$,ossia che $S -epsilon$ non è un maggiorante.
Nel caso specifico il candidato $S=1$ e svolgendo la seconda disequazione hai trovato un elemento appartenente all'insieme $A$ che è $< S-epsilon$.
Quindi $SUPA=1 $ ed è anche il $maxA$.
sì, va bene, ma non risolvi il mio dubbio, che cerco di spiegare meglio:
con i calcoli si trova
\(\displaystyle n(3-4\epsilon)<3 \)
da cui segue che basterà prendere
\(\displaystyle n > \frac{3}{3-4\epsilon} \) solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)
dunque la possibilità di trovare \(\displaystyle n \) ce l'avrei solo per \(\displaystyle \epsilon > \frac{3}{4} \) e non per ogni \(\displaystyle \epsilon >0\) come vuole la definizione!!
dove sbaglio?
con i calcoli si trova
\(\displaystyle n(3-4\epsilon)<3 \)
da cui segue che basterà prendere
\(\displaystyle n > \frac{3}{3-4\epsilon} \) solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)
dunque la possibilità di trovare \(\displaystyle n \) ce l'avrei solo per \(\displaystyle \epsilon > \frac{3}{4} \) e non per ogni \(\displaystyle \epsilon >0\) come vuole la definizione!!
dove sbaglio?
"MtoF":
sì, va bene, ma non risolvi il mio dubbio, che cerco di spiegare meglio:
con i calcoli si trova
\(\displaystyle n(3-4\epsilon)<3 \)
da cui segue che basterà prendere
\(\displaystyle n > \frac{3}{3-4\epsilon} \) solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)
dunque la possibilità di trovare \(\displaystyle n \) ce l'avrei solo per \(\displaystyle \epsilon > \frac{3}{4} \) e non per ogni \(\displaystyle \epsilon >0\) come vuole la definizione!!
dove sbaglio?
Attento ai simboli
$n<3/(3-4epsilon)$
e ... poi $epsilon<3/4$
"igiul":
[quote="MtoF"]sì, va bene, ma non risolvi il mio dubbio, che cerco di spiegare meglio:
con i calcoli si trova
\(\displaystyle n(3-4\epsilon)<3 \)
da cui segue che basterà prendere
\(\displaystyle n > \frac{3}{3-4\epsilon} \) solo per \(\displaystyle \epsilon>\frac{3}{4} \)
dunque la possibilità di trovare \(\displaystyle n \) ce l'avrei solo per \(\displaystyle \epsilon > \frac{3}{4} \) e non per ogni \(\displaystyle \epsilon >0\) come vuole la definizione!!
dove sbaglio?
Attento ai simboli
$n<3/(3-4epsilon)$
e ... poi $epsilon<3/4$[/quote]
in che senso "attento ai simboli"?? se divido per un'espressione negativa devo cambiare il verso della disuguaglianza..
Per $epsilon >3/4$ ci siamo, viene $n> 3/(3-4epsilon)$ che è una semiretta crescente e di valori di n ne troviamo quanti vogliamo.
Per $epsilon =3/4$ ci siamo ancora perché viene $0<3$ verificato per ogni n
Per $epsilon <3/4$ viene $n< 3/(3-4epsilon)$ e c'è almeno un valore di n che soddisfa la disequazione è $n=1$
Per $epsilon =3/4$ ci siamo ancora perché viene $0<3$ verificato per ogni n
Per $epsilon <3/4$ viene $n< 3/(3-4epsilon)$ e c'è almeno un valore di n che soddisfa la disequazione è $n=1$
"@melia":
Per $epsilon >3/4$ ci siamo, viene $n> 3/(3-4epsilon)$ che è una semiretta crescente e di valori di n ne troviamo quanti vogliamo.
Per $epsilon =3/4$ ci siamo ancora perché viene $0<3$ verificato per ogni n
Per $epsilon <3/4$ viene $n< 3/(3-4epsilon)$ e c'è almeno un valore di n che soddisfa la disequazione è $n=1$
Bene! è proprio questo che volevo sapere. devo dunque discutere tutti i casi!! volevo esserne sicuro, perché non ho mai trovato un esercizio svolto di questo tipo.
Non è necessario che tutti i casi siano discussi, basta quello per $epsilon >0$ piccola a piacere, cioè per $epsilon$ appartenente ad un intorno destro di 0.
"@melia":
Non è necessario che tutti i casi siano discussi, basta quello per $epsilon >0$ piccola a piacere, cioè per $epsilon$ appartenente ad un intorno destro di 0.
ah, ecco perché?
dunque riguardo all'esercizio precedente il caso da discutere è quello per \(\displaystyle 0<\epsilon < \frac{3}{4} \) ?
esattamente