Verifica di limite con definizione

[vfab971]

Buonasera a tutti,
Vorrei chiedervi la verifica di questo limite fatto oggi in classe che non sono riuscito a capire, perchè a parer mio la prof. ha utilizzato un metodo risolutivo davvero complesso e lungo (più di un'ora per risolverlo).

\( \lim_{x\rightarrow -\infty } \ln (1+e^x) = 0 \)

[anonymous_0b37e9]

"vfab97":
... più di un'ora per risolverlo ...

Non ci credo. Ad ogni modo:

$|ln(1+e^x)| lt \epsilon rarr$

$rarr ln(1+e^x) lt \epsilon rarr$

$rarr 1+e^x lt e^\epsilon rarr$

$rarr e^x lt e^\epsilon-1 rarr$

$rarr x lt ln(e^\epsilon-1)$

[vfab971]

La prof diceva che se la x tende a meno infinito allora (1 + e^x) sarebbe stato un valore che tende a 0 quindi non poteva essere minore di epsilon..

[anonymous_0b37e9]

"vfab97":
La prof diceva che ...

Spero abbiate capito male oppure in una svista della docente, anche se un po' troppo protratta nel tempo. Ad ogni modo:

$[lim_(x->-oo)e^x=0] rarr [lim_(x->-oo)(1+e^x)=1] rarr [lim_(x->-oo)ln(1+e^x)=0]$