Verifica dei limiti

[niere]

Ho il problema del grafico, quando devo verificare un limite.

Es.

$ lim_(x -> 2) (4-x^2) = 0 $

E' un limite per x che tende ad un numero finito (x -> 2) quindi devo solo risolvere applicando la definizione, e cioè : $|f(x) - l| < ε $

$|4 - x^2 - 0|< ε$

$|4 - x^2|< ε$


Ora risolvo questa disequazione con valori assoluti e ho i primi problemi:

1) i segni (< oppure >) delle due disequazioni le posso mettere "a caso", oppure devo prima partire con > maggiore, e nella seconda mettere
$ { ( 4 - x^2 > - ε ),( 4 - x^2 < ε):} $

e con l'epsilon negativa nella prima disequazione?

$ { ( - x^2 > -ε - 4; ),( - x^2 < ε - 4 ; ) :} $

$ { ( x^2 < ε + 4; ),( x^2 > - ε + 4 ; ) :} $

Ora come faccio a continuare? facendo poi anche il grafico

[cenzo1]

"esmeralda881": $ { ( x^2 < ε + 4; ),( x^2 > - ε + 4 ; ) :} $

Ora come faccio a continuare? facendo poi anche il grafico

$ { ( -sqrt(4+ε)sqrt(4-ε) ) :} $

Intersecando le soluzioni delle due disequazioni avrai due intervalli di cui però solo uno contiene la $x=2$
e precisamente $sqrt(4-ε)
Il grafico di $y=4-x^2$ è una parabola che non dovresti avere difficoltà a disegnare.
Prendi un intorno di $y=0$ di ampiezza $ε$ e in corrispondenza avrai l'intorno di $x=2$ definito dalla precedente disequazione.

[niere]

Grazie, più o meno sono riuscita a capire i limiti finiti per x che tende ad un valore finito.

Ora però ho un problema con un limite infinito per x che tende ad un valore finito:

$ lim_(x -> 1) 1/(x-1) = oo $

Per questi limiti, io devo applicare la formula $ |f (x)| > M$ quindi:

$ | 1/ (x-1) | > M $

Ora però non so come risolvere questa disequazione..la devo scomporre in due disequazioni? cioè:

$ { ( 1/(x-1) > M ),( 1/(x-1) < -M):} $

Ma poi come risolvo?

[adaBTTLS1]

le due disequazioni sono alternative, non a sistema (cioè legate da $vv$ e non da $^^$).
si portano ad unica frazione (ciascuna) e si risolvono rispetto ad $x$ in funzione del parametro $M$.
prova e facci sapere. ciao.

[niere]

"adaBTTLS":le due disequazioni sono alternative, non a sistema (cioè legate da $vv$ e non da $^^$).
si portano ad unica frazione (ciascuna) e si risolvono rispetto ad $x$ in funzione del parametro $M$.
prova e facci sapere. ciao.

Ehm in che senso sono alternative?

[cenzo1]

"esmeralda881":Ehm in che senso sono alternative?

Nel senso che dopo avere risolto ciascuna dovrai poi unire le rispettive soluzioni (non intersecare).

[niere]

Ho visto su vari pdf che bisogna invertire..

cioè diventa:

$ |1/(x-1)| > M $

$ |x-1| < 1/M $

Però non capisco i passaggi per avere questo risultato..

[Albert Wesker 27]

Io fossi in te considererei e risolverei le due disequazioni separate $1/(x-1) > M $ e $ 1/(x-1) < -M $ che sono veloci e semplici.

[niere]

Forse ho capito! Devo isolare la x a sinistra del segno e il resto lo sposto a destra.

Cioè:

$ 1/(x-1) > M$ ----> $x-1 > 1/M $

$ 1/(x-1) < - M$ ----> $ x-1 < - 1/M$

[@melia]

Puoi fare i reciproci e invertire il verso della disequazione solo se sei certa che entrambi i membri abbiano lo stesso segno, altrimenti devi risolvere le disequazioni fratte.
$1/(x-1)>M$ diventa $1/(x-1)-M>0$ e quindi $(1-Mx+M)/(x-1)>0$, poi segno del numeratore, segno del denominatore, grafico dei segni
idem per l'altra disequazione

[redlex91-votailprof]

Secondo me così come li fai tu non ha molto senso... la definizione non è solo ciò che viene dopo l'"implica": quando verifichi un limite verifichi che la disequazione sia verificata "per ogni $x$...", è quel "per ogni" il nocciolo della questione.

Allora devi scrivere:
$lim_(x->1)1/(x-1)=\pm oo <=> \forall M\in\ RR^+\exists \delta_M\in RR^+:\forall x\in (1-\delta_M;1+\delta_M)\implies |1/(x-1)|>M
$1/(x-1)<-M vv 1/(x-1)>M
$(Mx-M+1)/(x-1)<0 vv (Mx-M-1)/(x-1)<0
$1-1/M Quell'$1/M$ è il nostro $\delta_M$: la disequazione è verificata $\forall x\in (1-1/M;1+1/M)$, il limite risulta così verificato.