VARIAZIONI
Dato ìl seguente problema :
Studiare le variazioni della funzione $ y = (x^3 - 2x^2)/(2(x-1)) $ e tracciarne il grafico $gamma$ . Determinare, quindi, la variazione del coefficiente angolare della retta tangente a $ gamma $ quando l'ascissa passa dal valore x=2 al valore x=1,999. Determinare poi le equazioni delle curve simmetriche di $ gamma$ rispetto all'asse x, all'asse y e all'origine.
Cosa s'intende per variazioni ? Ho fatto il grafico, per la variazione del coefficiente angolare devo calcolare la derivata prima nei due punti e fare la differenza , dal risultato tale variazione dovrebbe essere zero ma penso sia comunque approssimato...Per trovare le equazioni delle curve simmetriche, per quella simmetrica rispetto all'asse x devo sostituire y con -y .... per trovare la simmetrica rispetto all'origine sostituisco x con -x e y con -y ?
Studiare le variazioni della funzione $ y = (x^3 - 2x^2)/(2(x-1)) $ e tracciarne il grafico $gamma$ . Determinare, quindi, la variazione del coefficiente angolare della retta tangente a $ gamma $ quando l'ascissa passa dal valore x=2 al valore x=1,999. Determinare poi le equazioni delle curve simmetriche di $ gamma$ rispetto all'asse x, all'asse y e all'origine.
Cosa s'intende per variazioni ? Ho fatto il grafico, per la variazione del coefficiente angolare devo calcolare la derivata prima nei due punti e fare la differenza , dal risultato tale variazione dovrebbe essere zero ma penso sia comunque approssimato...Per trovare le equazioni delle curve simmetriche, per quella simmetrica rispetto all'asse x devo sostituire y con -y .... per trovare la simmetrica rispetto all'origine sostituisco x con -x e y con -y ?
Risposte
a me sembra tutto corretto...
"maria60":
... per la variazione del coefficiente angolare devo calcolare la derivata prima nei due punti e fare la differenza , dal risultato tale variazione dovrebbe essere zero ma penso sia comunque approssimato...
E pensi bene. La domanda vuole evidentemente farti applicare il teorema il concetto di differenziale: per una variazione $Delta x$ molto piccola la corrispondente variazione di $f(x)$ è circa uguale al suo differenziale, cioè si ha $Delta f=f'(x) Delta x$. Nel tuo caso si ha $f(x)=y'(x)$ quindi devi calcolare la derivata seconda; salvo errori ottengo
$y''(x)=(x^3-2x^2+3x-1)/((x-1)^3)$
Poiché $y''(2)=5$ e $Delta x=0,001$ si ha $Delta y'=0,005$
Rettifico perché avevo fatto un errore di calcolo. Le derivate sono
$y'=(2x^3-5x^2+4x)/(2(x-1)^2)$
$y''=(x^3-3x^2+3x-2)/((x-1)^3)$
e si ha $y''(2)=0=>Delta y'=0$, come trovato da maria60.
Naturalmente questo risultato è approssimato e ho cercato quello esatto: non con la calcolatrice perché gli errori di arrotondamento inciderebbero pesantemente ma con l'algebra, ponendo $1,999=2-u$. Ottengo
$Delta y'=y'(2)-y'(2-u)=(-3u^2+2u^3)/(2(1-u)^2)$
La più bassa potenza di $u$ è il quadrato, confermando lo zero delle prima approssimazione; notando ora che $u=10^(-3)$ si ha all'incirca $Delta y'=-1,5*10^(-6)$
$y'=(2x^3-5x^2+4x)/(2(x-1)^2)$
$y''=(x^3-3x^2+3x-2)/((x-1)^3)$
e si ha $y''(2)=0=>Delta y'=0$, come trovato da maria60.
Naturalmente questo risultato è approssimato e ho cercato quello esatto: non con la calcolatrice perché gli errori di arrotondamento inciderebbero pesantemente ma con l'algebra, ponendo $1,999=2-u$. Ottengo
$Delta y'=y'(2)-y'(2-u)=(-3u^2+2u^3)/(2(1-u)^2)$
La più bassa potenza di $u$ è il quadrato, confermando lo zero delle prima approssimazione; notando ora che $u=10^(-3)$ si ha all'incirca $Delta y'=-1,5*10^(-6)$
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