Variante problema 2.b ordinamento
non avendo una stampante funzionante, ho scarabocchiato ipotesi e disegni dei problemi assegnati alla maturità, e con calma mi sono divertita a svolgerli; confrontando le soluzioni, mi sono accorta di qualche incongruenza dovuta alla errata interpretazione del testo. in particolare, il punto b. del problema 2 della traccia di ordinamento (M557), così com'era forse nemmeno valeva la pena di essere svolto: il rettangolo di area massima che si chiedeva di trovare era in maniera piuttosto evidente la metà di un quadrato...
vi propongo come variante quello che io avevo erroneamente interpretato:
si trovi il rettangolo di area massima inscritto nella regione individuata da $Gamma$ e $Gamma_1$.
ciao.
vi propongo come variante quello che io avevo erroneamente interpretato:
si trovi il rettangolo di area massima inscritto nella regione individuata da $Gamma$ e $Gamma_1$.
ciao.
Risposte
"adaBTTLS":
vi propongo come variante quello che io avevo erroneamente interpretato:
si trovi il rettangolo di area massima inscritto nella regione individuata da $Gamma$ e $Gamma_1$.
No! Incredibile!
Allora non sono scemo del tutto. Ti ringrazio.
Anche io ho fatto lo stesso errore di interpretazione.
Ma io ero alla seconda prova, non stavo a casa a svolgerlo per diletto
Guardavo e guardavo quel rettangolo nella zone grigia, e non mi sapevo muovere.
Quindi sono passato all'altro problema (che tra l'altro non ho fatto troppo bene).
E' stato il professore a farmi notare la cattiva interpretazione, dopo che gli avevo detto che quel punto era difficile (ha sgranato gli occhi quando gli ho detto così
).Se ho tempo e voglia, dopo mi ci rimetto.
Ciao!
"Steven":
Anche io ho fatto lo stesso errore di interpretazione.
Ma io ero alla seconda prova, non stavo a casa a svolgerlo per diletto
Guardavo e guardavo quel rettangolo nella zone grigia, e non mi sapevo muovere.
Quindi sono passato all'altro problema.
Siamo in due... quoto ogni parola
Steven di che scuola sei ?
Non ho trovato altro modo se non riferendomi a un sistema di assi cartesiani.
Non è che ci abbia riflettuto poi molto, comunque questa è una soluzione.
Sarò rapido, se qualche passaggio non è chiaro chiedete, ci torno sopra.
La semicirconferenza rossa ha equazione
$y=sqrt(1-x^2)$
mentre quella blu
$y=1-sqrt(1-x^2)$
Possiamo trovare l'intersezione tra le due sommando membro a membro le due equazioni.
Risulta immediatamente
$y=1$ quindi
$1/2=sqrt(1-x^2)$ ovvero $x_1=sqrt3/2$ e $x_2=-sqrt3/2$
Prendiamo un $x$ generico appartenente alla semicirconferenza rossa.
Costruiamo il segmento che unisce quel punto e la semicirconferenza blu, e che sia parallelo all'asse delle ordinate.
Sia $P$ il punto inizialmente considerato,e $P'$ il secondo.
Risulta
$P(x, sqrt(1-x^2))$ e $P'(x,1-sqrt(1-x^2))$
Pertanto
$\bar{PP'}=sqrt(1-x^2)-(1-sqrt(1-x^2))=2sqrt(1-x^2)-1$
Questo è un lato del rettangolo (per comodità considero solo la metà nel primo quadrante del rettangolo), l'altro è semplicemente $x$
Quindi
$A(x)=2xsqrt(1-x^2)-x$ con la limitazione $0
$A'(x)=2sqrt(1-x^2)-frac{2x^2}{sqrt(1-x^2)}-1$
Da qui in avanti sono solo conti (con numeracci, tra l'altro).
Comunque, servendomi di Derive, la funzione ha un massimo in
$x=sqrt(15/32-sqrt(33)/32)$
AdaBTTLS, tu hai fatto in altro modo?
"Gatto89":
Steven di che scuola sei ?
L.S Archimede.
Anche tu di Roma, vero?
Ciao!
sì, io ho fatto in un altro modo. ho chiamato P il primo punto su $Gamma$, il tuo (x,y), in funzione dell'angolo BCP (il mio x): la base del rettangolo è $2*cos x$ e l'altezza è $2*sen x - 1$, con $x in (pi/6; pi/2)$. ho studiato la funzione $A(x)=2*cos x * (2*sen x - 1)$ ed ho visto cha presenta un massimo per $x=arcsin((1+sqrt(33))/8)$ che in gradi corrisponde a circa 57°,5.
l'unico punto su cui ragionare un attimo è l'altezza, ma per la simmetria della figura è facile trovare un'espressione semplice: pensa ai 4 segmentini a due a due congruenti nei quali viene diviso il raggio; l'altezza è la somma dei due centrali, tra loro congruenti; il seno di x è l'altezza più uno dei due segmentini rimanenti...
OK? ciao.
l'unico punto su cui ragionare un attimo è l'altezza, ma per la simmetria della figura è facile trovare un'espressione semplice: pensa ai 4 segmentini a due a due congruenti nei quali viene diviso il raggio; l'altezza è la somma dei due centrali, tra loro congruenti; il seno di x è l'altezza più uno dei due segmentini rimanenti...
OK? ciao.
l'unico punto su cui ragionare un attimo è l'altezza, ma per la simmetria della figura è facile trovare un'espressione semplice: pensa ai 4 segmentini a due a due congruenti nei quali viene diviso il raggio; l'altezza è la somma dei due centrali, tra loro congruenti; il seno di x è l'altezza più uno dei due segmentini rimanenti...
OK? ciao.
Assolutamente, cristallino.
Il mio è troppo laborioso, meglio questo.
Ciao.
"Steven":
L.S Archimede.
Anche tu di Roma, vero?
Ciao!
Oui, L.S. Keplero
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