Variante 3° quesito PNI
Riporto il link alla seconda prova degli esami di stato 2006 del PNI
http://www.matematicamente.it/matura/2006-LS-PNI.pdf
Modifico un pò il terzo quesito.
Si consideri la retta $r$ e due punti $L$ e $M$ esterni ad essa (non necessariamente nello stesso semipiano). Si determini sulla retta $r$ il segmento $HK$ di misura $a$ in modo tale che la spezzata $LHKM$ abbia lunghezza minima.
http://www.matematicamente.it/matura/2006-LS-PNI.pdf
Modifico un pò il terzo quesito.
Si consideri la retta $r$ e due punti $L$ e $M$ esterni ad essa (non necessariamente nello stesso semipiano). Si determini sulla retta $r$ il segmento $HK$ di misura $a$ in modo tale che la spezzata $LHKM$ abbia lunghezza minima.
Risposte
Quel terzo quesito era veramente stupido per un PNI! Se pensi che ad aprile l'avevo proposto io in terza al liceo artistico........... che davvero non capiscono quasi nulla.......... e un ragazzo l'aveva capito! Ora provo con la tua mdifica!
E allora?
Non ci prova nessuno?
Non ci prova nessuno?
Ahahahah aspetta, ora ho i bambini svegli e ci sono ancora 39°; da voi fa caldo????????
Se posso ci provo stanotte.
Se posso ci provo stanotte.
$40°$
chiamando:
a=misura del segmento sulla retta;
c=distanza di L da r;
d=distanza di M da r;
e=misura del segmento $bar(L'M')$ ove L' e M' sono le proiezioni di L e M sulla retta r rispettivamente
abbiamo che la lunghezza della spezzata è:
$sqrt(x^2+c^2)+sqrt(d^2+(e-a-x)^2)+a=l(x)$ adesso basta fare una banale derivata e imporre $l'(x)=0$ ovviamente non svolgo i calcoli ma fornisco solo il procedimento perchè risolvere tutto un esercizio non mi sembra giusto
a=misura del segmento sulla retta;
c=distanza di L da r;
d=distanza di M da r;
e=misura del segmento $bar(L'M')$ ove L' e M' sono le proiezioni di L e M sulla retta r rispettivamente
abbiamo che la lunghezza della spezzata è:
$sqrt(x^2+c^2)+sqrt(d^2+(e-a-x)^2)+a=l(x)$ adesso basta fare una banale derivata e imporre $l'(x)=0$ ovviamente non svolgo i calcoli ma fornisco solo il procedimento perchè risolvere tutto un esercizio non mi sembra giusto
La soluzione brutale con l'analisi in questo caso è alquanto ostica e calcolosa (viene fuori un'equazione di quarto grado che derivata viene di terzo grado).
Sarebbe interessante trovare una soluzione euclidea senza far ricorso alla soluzione brutale.
Sarebbe interessante trovare una soluzione euclidea senza far ricorso alla soluzione brutale.
a me viene di 2° grado, cmq non ti suona strano un metodo euclideo che risolverebbe quindi equazioni di terzo grado? i problemi di geimetria euclidea si possono risolvere tramite equazioni di grado al massimo 2, è per questo che sono più facili rispetto al resto della matematica
Giusè, non postare ancora la soluzione; io graficamente "sulla carta" la soluzione l'ho trovata, ora ho bisogno di silenzio e calma in casa per darne una giustificazione geometrica. Ti anticipo che sto usando la simmetria, proprio come il problema originale.
invito laura todisco a rimuovere la pubblicità occulta nella sua firma.
Guill
ps: se volete dimostrarlo per assurdo fate pure vediamo laura quanto ci impiegherà(un anno almeno?:-D
dal momento che si tratta di un quesito da risolvere in pochi minuti) ma non conviene dal momento che si tratta di risolvere un'eq. di secondo grado, questi problemi sono studiati apposta per far fare una derivata
Guill
ps: se volete dimostrarlo per assurdo fate pure vediamo laura quanto ci impiegherà(un anno almeno?:-D
dal momento che si tratta di un quesito da risolvere in pochi minuti) ma non conviene dal momento che si tratta di risolvere un'eq. di secondo grado, questi problemi sono studiati apposta per far fare una derivata
"GuillaumedeL'Hopital":
invito laura a rimuovere la pubblicità occulta nella sua firma.
Guill
occulta? conosci il significato del termine? io direi che è palese
(ma la cosa non mi disturba affatto)
"wedge":
[quote="GuillaumedeL'Hopital"]invito laura a rimuovere la pubblicità occulta nella sua firma.
Guill
occulta? conosci il significato del termine? io direi che è palese
(ma la cosa non mi disturba affatto)[/quote]
infatti, ma a me dà fastidio
Ho posto i punti L ed M sopra la retta.Se essi si trovano da banda
opposta (L sopra ed M sotto,per es.), si puo' considerare il simmetrico M''
di M rispetto ad r e prendere la spezzata LHKM'' che avra' la medesima
lunghezza di LHKM e anche lo stesso minimo.
Senza rifare i calcoli ed annullando la derivata prima si trova l'equazione
(1) $x/(sqrt(c^2+x^2))=(e-a-x)/(sqrt(d^2+(e-a-x)^2)$
da cui elevando al quadrato e riducendo a forma intera:
$x^2d^2+x^2(e-a-x)^2=c^2(e-a-x)^2+x^2(e-a-x)^2$
Ovvero:
$x^2d^2=c^2(e-a-x)^2$ oppure scartando la soluzione negativa:
$xd=c(e-a-x) $
Si ha quindi la soluzione : $x=(c(e-a))/(c+d)$ che permette di fissare la posizione di HK su r
Per attribuire un significato a questo risultato si puo' osservare cha la (1)
puo' essere scritta al seguente modo.
$cos(i)=\cos(r)$ e poiche' i ed r sono angoli acuti, si ricava che:
$i=r$ od anche $(pi)/2-i=(pi)/2-r$
Ora questa e' la condizione della riflessione (seguita da una traslazione di ampiezza a )
di un raggio su di uno specchio e cio' assicura che la soluzione trovata corrisponde effettivamente ad un minimo, com'e' noto e come e' possibile verificare con una costruzione elementare.
karl
Facendola a mente mi era venuta fuori di terzo grado, comunque interessante l'interpretazione geometrica di Karl.
Quello che avevo pensato io era comunque considerare come caso particolare quello in cui $a=0$ e vedere che in questo caso semplice il minimo si ottiene quando i due angoli sono uguali. Successivamente congetturare che ciò è vero anche quando $a != 0$ e dimostrarlo per assurdo. Io ancora non ho avuto neanche il tempo per provarci, secondo voi si può fare?
Quello che avevo pensato io era comunque considerare come caso particolare quello in cui $a=0$ e vedere che in questo caso semplice il minimo si ottiene quando i due angoli sono uguali. Successivamente congetturare che ciò è vero anche quando $a != 0$ e dimostrarlo per assurdo. Io ancora non ho avuto neanche il tempo per provarci, secondo voi si può fare?
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