Valore funzioni goniometriche

[kilikion1]

Premetto subito che forse la sezione più adatta per questo tipo di problema è "Scervelliamoci un po' " , ma ho deciso di postare ugualmente qui, qualora mi fosse sfuggita la semplicità del quesito. Eventualmente, chiedo gentilmente ad un moderatore di cambiare sezione.

Ad ogni buon conto, il quesito è questo

Verificare che
$1 / cos(arctan (2)) = sqrt (5)$

Io, onestamente, non saprei come procedere, se non per approssimazione.

Dopo averci lungamente pensato, l'illuminazione è arrivata aiutando un mio coetaneo nella risoluzione di una equazione goniometrica attraverso l'angolo aggiunto.

Partiamo dalla funzione
$f(x) = a sinx + b cos x $
Con un po' di algebra
$a(sinx + b/a cosx)$
$a(sinx + tan (arctan (b/a)) cosx$
$a / cos(arctan(b/a)) ( sinx cos(arctan(b/a)) + sin (arctan (b/a) * cosx))$
$a / cos(arctan(b/a)) (sin (x+arctan (b/a)) $
Ora, richiamandoci alla mente, la giustificazione della formula dell'angolo aggiunto (che io non uso mai a memoria ) avremo
$k(sin(x+p)$, dove $k$ è $a / cos(arctan(b/a))$ e $p$ è $arctan (b/a)$
$k(sinxcosp + cosxsinp)$
$ksinxcosp + kcosxsinp $
Dunque, rispetto alla nostra funzione iniziale, $a = kcosp$ , $b= ksinp$
$a^2 + b^2 = k^2*cos^2p + k^2sin^2p$
$a^2+b^2 = k^2 $
$sqrt (a^2+b^2) = k$
$sqrt (a^2+b^2) = a / cos(arctan(b/a))$

Inoltre sappiamo che $b/a = 2 $
Ne consegue che
$sqrt (a^2+4a^2) = a/ cos(arctan 2 )$
$a* sqrt(5) = a / cos (arctan 2 )$
$sqrt (5) = 1/ cos (arctan 2)$

Più in generale, definito c come b/a, è vero che
$sqrt(1+c^2) = 1/ cos(arctan c) $

Immagino che sul valore di c ci siano certe restrizioni, anche se a prima vista non direi, dal momento che arctan restituisce un angolo compreso tra $-pi/2$ e $pi/2$

Dato che siete senza dubbio più preparati ed abili di me, ci saranno sicuramente soluzioni più rapide e creative.

[chiaraotta1]

Se
$alpha = arc tan(2)$,
allora
$tan alpha =2$ e $0 Quindi
$tan^2 alpha=4->(sin^2alpha)/(cos^2alpha)=4->(1-cos^2alpha)/(cos^2 alpha)=4->1-cos^2alpha=4cos^2 alpha->$
$cos^2 alpha=1/5->cos alpha=1/sqrt(5)->1/(cos alpha)=sqrt(5)->1/cos(arc tan(2))=sqrt(5)$

[CaMpIoN]

Prova a rappresentare il coseno come tangente, così puoi semplificare con l'arcotangente ed effettuare solo calcoli algebrici.
La relazione che lega coseno e tangente è
\(\displaystyle \cos \alpha=\frac{1}{\pm \sqrt{1+\tan^2 (\alpha)}} \)
Il segno va scelto a seconda del segno che il coseno assume nel quadrante dell'angolo considerato, nel nostro caso l'angolo è definito dall'arcotangente di un valore positivo che restituisce sempre un valore minore di 90 e maggiore o uguale a 0, quindi un'angolo nel primo quadrante dove il coseno è sempre positivo, la relazione da sostituire è quindi la seguente
\(\displaystyle \cos (\arctan(2))=\frac{1}{\sqrt{1+(\tan(\arctan(2))^2}} \)
Quindi
\(\displaystyle \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{1+(\tan(\arctan(2))^2}}}=\sqrt{5} \)
\(\displaystyle \sqrt{1+(2)^2}=\sqrt{5} \)
Ottieni quindi l'identità verificata.

[kilikion1]

Grazie mille ad entrambi.

Le vostre soluzioni partono tutte e due da $tan^2 \alpha = (cos^2 \alpha) / (sin ^2\alpha)$, che porta indubbiamente ad una soluzione più rapida e meno intricata della mia. Grazie ancora e buona estate.

[chiaraotta1]

"kilikion":....
$tan^2 \alpha = (cos^2 \alpha) / (sin ^2\alpha)$
....

No.....
$tan^2 \alpha = (sin^2 \alpha) / (cos ^2\alpha)$