Valore assoluto - Equazioni

[Lucam95]

Ciao ragazzi,
ho un problema con le equazioni e il valore assoluto.

Prendiamo questo caso, quello che non riesco a comprendere

|x-2|=x
  x-2>=0 se x>=2
  -(x-2)<0 se x<2 

Non riesco a capire il secondo caso, perchè da x<2?
Nel mio caso, ho provato a risolvere in questo modo

-(x-2)<0 se -x+2<0 --> -x<-2 --> x>2

Cosa sbaglio io?
Grazie,
Luca

[chiaraotta1]

Io farei così ....
L'equazione $|x-2|=x$ è equivalente ai sistemi ${(x-2=x), (x-2>=0):}$ e ${(-(x-2)=x), (x-2<0):}$.
Il primo sistema è impossibile ($-2=0$).
Il secondo diventa ${(-x+2=x), (x<2):}->{(2x=2), (x<2):}->x=1$.

[Noisemaker]

"Lucam95":Ciao ragazzi,
ho un problema con le equazioni e il valore assoluto.

Prendiamo questo caso, quello che non riesco a comprendere

|x-2|=x
  x-2>=0 se x>=2
  -(x-2)<0 se x<2 

Non riesco a capire il secondo caso, perchè da x<2?
Nel mio caso, ho provato a risolvere in questo modo

-(x-2)<0 se -x+2<0 --> -x<-2 --> x>2

Cosa sbaglio io?
Grazie,
Luca

se la l'equazione da risolvere è

$|x-2|=x$

allora: considera la definizione di valore assoluto:

$|f(x)|= \{(f(x) \quad se \quad f(x)>=0),(-f(x)\quad se \quad f(x)<0):}$

nel tuo caso è $f(x)=x-2$ e dunque $|f(x)|=|x-2|$; allora usando la definizione:

$|x-2|= \{(x-2 \quad se \quad x-2>=0\Rightarrowx>=2),(-(x-2)\quad se \quad x-2<0\ Rightarrowx<2):}$


allora l'insieme delle soluzioni dell'equazione data corrisponde all'unione delle doluzioni due due sistemi:
$\{(x-2=x),(x\ge2):} \ \bigcup \ {(-x+2=x),(x\<2):}$

cioè

$\{(-2=0),(x\ge2):} \ \bigcup \ {(x=1),(x\<2):}$

dove evidentemente il primo insieme è impossibile e dunque l'insieme delle sue soluzioni è l' insieme vuoto:$\emptyset$; mentre l' insieme delle soluzione del secondo sistema è $\{1}$; allora l'insieme delle soluzioni dell'equazione data sara
$S=\{1}$