Valore assoluto e radicali
Ho dei dubbi riguardanti il valore assoluto rispetto ai radicali, ad esempio: \( \sqrt[6]{\frac{\mid a^3\mid b^6}{\mid 4a+b^2\mid }} \) .
Dubbio 1: Il numeratore e il denominatore del radicando si sono generati in relazione ad una potenza di 6 quindi sono sempre positivi, perchè si deve "specificare" tutto ciò tramite il valore assoluto?
Dubbio 2: se è necessario "specificarlo",perchè non basta porre sotto valore assoluto \( 4a \) , ma l'intero denominatore?
\( b^2 \) è sempre positivo,quindi è sufficiente lo sia anche \( 4a \) per avere un numero positivo...
Dubbio 1: Il numeratore e il denominatore del radicando si sono generati in relazione ad una potenza di 6 quindi sono sempre positivi, perchè si deve "specificare" tutto ciò tramite il valore assoluto?
Dubbio 2: se è necessario "specificarlo",perchè non basta porre sotto valore assoluto \( 4a \) , ma l'intero denominatore?
\( b^2 \) è sempre positivo,quindi è sufficiente lo sia anche \( 4a \) per avere un numero positivo...
Risposte
Se $a=-1$ e $b=1$ cosa succede?
Se \( a=-1 \),il valore asoluto mi dice di considerare \( -a \) quindi \( a=1 \) .
\( b^2=1\Longrightarrow 4a+b^2=5 \) . No?
\( b^2=1\Longrightarrow 4a+b^2=5 \) . No?
"zaser123":
Se \( a=-1 \),il valore asoluto mi dice di considerare \( -a \) quindi \( a=1 \) .
\( b^2=1\Longrightarrow 4a+b^2=5 \) . No?
Non mi pare. $4a$ quanto fa? $4a+b^2$ quanto fa? E alla fine $|4a+b^2|$ quanto fa?
"ghira":
[quote="zaser123"]Se \( a=-1 \),il valore asoluto mi dice di considerare \( -a \) quindi \( a=1 \) .
\( b^2=1\Longrightarrow 4a+b^2=5 \) . No?
Non mi pare. $4a$ quanto fa? $4a+b^2$ quanto fa? E alla fine $|4a+b^2|$ quanto fa?[/quote]
Considerando \( \mid 4a\mid \) come risultato finale ottengo \( +5 \) , considerando \( \mid 4a+b^2\mid \) come risultato finale ottengo \( +3 \) . Quindi devo considerare il valore assoluto dell'intero denominatore per non avere un risultato "alterato".
Giusto?
"zaser123":
Considerando \( \mid 4a\mid \) come risultato finale ottengo \( +5 \) , considerando \( \mid 4a+b^2\mid \) come risultato finale ottengo \( +3 \) . Quindi devo considerare il valore assoluto dell'intero denominatore per non avere un risultato "alterato".
Giusto?
$|a+b|$ e $|a|+|b|$ non sono necessariamente uguali. Tutto qui. "Considerando \( \mid 4a\mid \)" cosa dovrebbe voler dire?
"ghira":
[quote="zaser123"]
Considerando \( \mid 4a\mid \) come risultato finale ottengo \( +5 \) , considerando \( \mid 4a+b^2\mid \) come risultato finale ottengo \( +3 \) . Quindi devo considerare il valore assoluto dell'intero denominatore per non avere un risultato "alterato".
Giusto?
$|a+b|$ e $|a|+|b|$ non sono necessariamente uguali. Tutto qui. "Considerando \( \mid 4a\mid \)" cosa dovrebbe voler dire?[/quote]
Mettere sotto valore assoluto solo \( 4a \) , ma a quel punto non otterrei più come risultato finale della somma \( +3 \) , anche se avrei ottenuto un risultato sempre positivo.
"zaser123":
Ho dei dubbi riguardanti il valore assoluto rispetto ai radicali, ad esempio: \( \sqrt[6]{\frac{\mid a^3\mid b^6}{\mid 4a+b^2\mid }} \) .
Dubbio 1: Il numeratore e il denominatore del radicando si sono generati in relazione ad una potenza di 6 quindi sono sempre positivi, perché si deve "specificare" tutto ciò tramite il valore assoluto?
Scusa, ma non si capisce nulla.
Cosa vuol dire "Il numeratore e il denominatore del radicando si sono generati in relazione ad una potenza di 6"? Non vedo potenze di $6$, cioè $6^2$, $6^5$ e nemmeno $6^(-123)$, lì dentro...
E, no, "quindi sono sempre positivi" non significa nulla così... Cosa vuoi dire?
"zaser123":
Dubbio 2: se è necessario "specificarlo", perché non basta porre sotto valore assoluto \( 4a \) , ma l'intero denominatore?
\( b^2 \) è sempre positivo, quindi è sufficiente lo sia anche \( 4a \) per avere un numero positivo...
Beh, allora vedi che "quindi sono sempre positivi" non c'entra nulla?
Certo, se $4a$ è positivo, allora il denominatore è certamente positivo... Ma accade pure il viceversa? Cioè, puoi affermare che il denominatore è positivo se e solo se $4a$ lo è?
Cosa accade nel denominatore senza valore assoluto vai ad infilare $a = - 3/4$ e $b=2$?
Viene negativo o positivo?
Ed $a$ com'è?
Vale il se e solo se?
"gugo82":
Cosa vuol dire "Il numeratore e il denominatore del radicando si sono generati in relazione ad una potenza di 6"? Non vedo potenze di $6$, cioè $6^2$, $6^5$ e nemmeno $6^(-123)$, lì dentro...
E, no, "quindi sono sempre positivi" non significa nulla così... Cosa vuoi dire?
Intendevo dire che il radicando si è formato a partire da una elevamento alla sesta (considerando la proprietà invariantiva), quindi numeratore e denominatore saranno sempre positivi. Perchè è necessario mettere in gioco il valore assoluto ? Sono tranquillo che il numeratore sarà positivo e obbligatoriamente anche il denominatore e di conseguenza l'intera frazione del radicando; questo in generale. Ho capito che ci sono delle variabili e potrei avere situazioni incompatibili, ma già vedendo una radice sesta so che appunto sono incompatibili. Perchè "chiarire" tramite il valore assoluto?
"gugo82":Beh, allora vedi che "quindi sono sempre positivi" non c'entra nulla?
[quote="zaser123"]Dubbio 2: se è necessario "specificarlo", perché non basta porre sotto valore assoluto \( 4a \) , ma l'intero denominatore?
\( b^2 \) è sempre positivo, quindi è sufficiente lo sia anche 4a per avere un numero positivo...
Certo, se \( 4a \) è positivo, allora il denominatore è certamente positivo... Ma accade pure il viceversa? Cioè, puoi affermare che il denominatore è positivo se e solo se \( 4a \) lo è? [/quote]
Avevo pensato che bastasse considerare,come al numeratore,solo la variabile \( a \) per avere il tutto positivo; quindi porre sotto valore assoluto \( a^3 \) e \( 4a \) . Effettivamente la frazione è sempre positiva, ma si altera la somma al denominatore; quindi devo considerare sotto valore assoluto l'intero denominatore.
"zaser123":
Intendevo dire che il radicando si è formato a partire da una elevamento alla sesta (considerando la proprietà invariantiva),
??
"zaser123":
quindi numeratore e denominatore saranno sempre positivi.
"quindi"?
Leva tutti i valori assoluti e prova ad usare vari valori di $a$ e $b$ per vedere cosa succede. In particolare, valori negativi di $a$.
@zaser123
Ho l'impressione che questo "problema" discenda da un altro più importante, quindi sarebbe utile che spiegassi il tutto dal "vero" inizio altrimenti continui a mandare in confusione chi ti risponde.
Azzera tutto e riparti
Ho l'impressione che questo "problema" discenda da un altro più importante, quindi sarebbe utile che spiegassi il tutto dal "vero" inizio altrimenti continui a mandare in confusione chi ti risponde.
Azzera tutto e riparti
"ghira":
[quote="zaser123"]
Intendevo dire che il radicando si è formato a partire da una elevamento alla sesta (considerando la proprietà invariantiva),
??
[/quote]
Forse sto facendo confusione: \( x=\sqrt{a} \Longrightarrow x\geq 0 \) e \( x^2=a \) . Dalla definizione del libro di radice quadrata.
Se ho una radice sesta la devo sempre immaginare come $ x=^6sqrt(a) $ \( \Longrightarrow \) $ x^6=a=(a^3b^6)/(4a+b^2) $ .
Se \( x^6\geq 0\Longrightarrow a\geq 0 \) ; quindi mi chiedevo perchè introdurre il valore assoluto se conosco sempre l'origine del radicando, se so che è sempre positivo. Ho delle variabili e quindi potrebbe presentarsi una situazione incompatibile, ma è appunto una situazione incompatibile, perchè andarla a valutare e considerare il segno delle diverse variabili?
"zaser123":
Forse sto facendo confusione: \( x=\sqrt{a} \Longrightarrow x\geq 0 \) e \( x^2=a \) . Dalla definizione del libro di radice quadrata.
Con $a=-1$ come funziona? Questa definizione la voglio vedere.
"zaser123":
Se ho una radice sesta la devo sempre immaginare come $ x=^6sqrt(a) $ \( \Longrightarrow \) $ x^6=a=(a^3b^6)/(4a+b^2) $ .
Ma che stai a dì?
"zaser123":
Se \( x^6\geq 0\Longrightarrow a\geq 0 \)
Non è vero.
"ghira":
[quote="zaser123"]
Forse sto facendo confusione: \( x=\sqrt{a} \Longrightarrow x\geq 0 \) e \( x^2=a \) . Dalla definizione del libro di radice quadrata.
Con $a=-1$ come funziona? Questa definizione la voglio vedere.
[/quote]
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"se esiste". E nel paragrafo successivo usa $-9$ come esempio di un numero senza radice quadrata.
Nel mio quesito avevamo la radice, quindi quel numero esiste ed è positivo.
"zaser123":
Nel mio quesito avevamo la radice, quindi quel numero esiste ed è positivo.
(Ho già detto "Che stai a dì?" È il momento di dire "santi numi!"? Forse non ancora, anche perché non capisco cosa stai dicendo.) Stai dicendo che senza i vari valori assoluti, per qualsiasi $a$ e $b$ la radice esiste? E che i valori assoluti sono lì come il prezzemolo solo per fare scena?
Molto concretamente, andrebbe benissimo \( \sqrt[6]{\frac{ a^3 b^6}{4a+b^2 }} \) per qualsiasi $a$ e $b$? Anche per, diciamo, $a=-1$ e $b=3$?
No. Sto dicendo che $ (a^3b^6)/(4a+b^2) $ è sempre positivo, a meno che si abbia ad esempio $ a=-1 $ , ma $a=-1$ non si potrebbe nemmeno "generare" in seguito ad un elevamento alla sesta. Se il radicando sappiamo che è sempre positivo, perchè dobbiamo valutare situazioni incompatibili, considerando le diverse variabili in relazione al valore assoluto? Lo dobbiamo fare e basta perchè sono variabili e quindi potrebbero configurarsi situazioni impossibili?
"zaser123":
No. Sto dicendo che $ (a^3b^6)/(4a+b^2) $ è sempre positivo, a meno che si abbia ad esempio $ a=-1 $ , ...
Quindi NON è sempre positivo, ok?
"zaser123":
... ma $ a=-1 $ non si potrebbe nemmeno "generare" in seguito ad un elevamento alla sesta.
Ma quando mai è stato "generato"? Hai una radice, con un radicando che ha delle variabili. Punto.
Da dove viene, da cosa è stato generato non te ne importa nulla (di per sé). Ok?
"zaser123":
No. Sto dicendo che $ (a^3b^6)/(4a+b^2) $ è sempre positivo, a meno che si abbia ad esempio $ a=-1 $ , ma $a=-1$ non si potrebbe nemmeno "generare" in seguito ad un elevamento alla sesta.
Non ti capisco.
Hai $a$. Hai $b$. Per qualche motivo calcoli $ (a^3b^6)/(4a+b^2) $. E questo lo puoi fare a meno che $4a+b^2$ non sia 0. Poi vuoi prendere la radice sesta. Mi stai dicendo che per qualche motivo questo è sempre possibile? Anche sapendo che non è sempre possibile?
Ok, ho capito. Non devo dare per scontato che questa radice sia possibile e fissarmi su questa cosa della "generazione" a partire da $ x^6 $ del radicando.
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