Valore assoluto

[maion1]

Avrei una domanda abbastanza stupida da porvi:


dato che $|x|$ è definito come
$x$ se $x>=0$
$-x$ se $x<0$

E' equivalente definirla come segue?

$x$ se $x>0$
$-x$ se $x<=0$

Ovviamente vedo che sono la stessa cosa, a livello pratico

Ora assumiamo:
$|-x|$
per casi:
$-x$ se $-x>=0 <=> x<=0$
$x$ se $-x<0 <=> x>0$
(e questa è proprio la seconda definizione che scrivevo sopra, che non vedo mai in nessun testo)

Dunque $|x|=|-x|$ se e solo se posso definire in entrambi i modi, altrimenti non funzionerebbe.
Ma aver due definizioni non è un problema?

Spero di aver chiarito il dubbio e grazie

[Indrjo Dedej]

"maion":
Ma aver due definizioni non è un problema?

No, non è un problema avere forme equivalenti di una affermazione, come per esempio di una definizione. Anzi, può far comodo. Per esempio, (esercizio) mostra che la definizione di modulo data in questa maniera \[\lvert x \rvert=\max\{x,-x\}\,,\] dove \(\max\) ti dice l'elemento massimo di un insieme, è equivalente a quella "classica" \[\lvert x \rvert=\begin{cases}x & \Leftrightarrow x \ge 0 \\ -x & \Leftrightarrow x < 0\end{cases}.\]

[maion1]

Ok quindi mi confermi che quanto sopra non eran tutte bagginaate?!
Ottimo, non so perché ma non me ne ero mai accorto prima, ora mi metto a provare il tuo esercizio
Grazie

[Indrjo Dedej]

Non lo avevo scritto, ma va bene quello che hai pensato.

[marco2132k]

"maion":Ma aver due definizioni non è un problema?

Entrambe quelle formule definiscono la stessa funzione: se \( x \) è un reale non nullo, dove metti la disuguaglianza non stretta nella definizione non cambia; lo zero è l'unico reale uguale al suo opposto. Questo ti dice che la funzione \( x\mapsto{\lvert x\rvert}_{\text{uguale messo sopra}} \) è uguale alla funzione \( x\mapsto{\lvert x\rvert}_{\text{uguale messo sotto}} \). Come ha detto l'utente @Indrjo Dedej quindi, è anche \( \lvert x\rvert = \max{\{x,-x\}} \).

Se pensi che il modulo di fatto è la norma classica in una dimensione, ha senso anche \( \lvert x\rvert := \sqrt{x^2} \).

[Indrjo Dedej]

@maion, quindi? Sei riuscit* a svolgere questa semplice dimostrazione?

[thawra69]

Riguarda la teoria degli insiemi, estensivamente sono uguali, intensivamente no.