Valor medio
Raga un altro quesito piuttosto difficile... xD almeno per me...
Si tratta di calcolare il valor medio di $y=log(x-1)/x^2$ in [2;3]... E fin qui ci sono riuscito
e ho trovato che risulta $5/3log2-log3$ Ma ora il problema chiede di verificare che nell'intervallo considerato la funzioni ammetta una sola volta il valore medio ... Non riesco proprio a capire come fare dato che una probabile equazione $f(c)=V_(M)$ non darebbe buoni frutti...
Spero mi possiate aiutare anche su questo Grazie ancora
Ps. ho provato per via grafica... tramite l'analisi della derivata prima... seconda... ma nada... non riesco a calcolare niente O.o
Si tratta di calcolare il valor medio di $y=log(x-1)/x^2$ in [2;3]... E fin qui ci sono riuscito
e ho trovato che risulta $5/3log2-log3$ Ma ora il problema chiede di verificare che nell'intervallo considerato la funzioni ammetta una sola volta il valore medio ... Non riesco proprio a capire come fare dato che una probabile equazione $f(c)=V_(M)$ non darebbe buoni frutti...Spero mi possiate aiutare anche su questo
Grazie ancora Ps. ho provato per via grafica... tramite l'analisi della derivata prima... seconda... ma nada... non riesco a calcolare niente O.o
Risposte
Prova a vedere se i n quell'intervallo la funzione è strettamente crescente, in questo caso è biettiva è prende una solta volta ogni valore tra f(2) e f(3)
Calcola la derivata prima, $f' (x)=(x/(x-1)-2ln(x-1))/x^3$, nel dominio $x^3$ è sempre positivo, quindi basta studiare il segno di $x/(x-1)-2ln(x-1)$.
Traccia il grafico delle due funzioni $f(x)=x/(x-1)$ e di $f(x)=2ln(x-1)$, si vede subito che si intersecano in un unico punto, quindi la derivata cambia segno solo una volta. Sostituendo poi i valori 2 e 3 si vede che il punto di intersezione delle due funzioni è maggiore di 3, quindi tra 2 e 3 la derivata prima non cambia segno e resta positiva. Ne segue che, nell'intervallo $[2, 3]$ la funzione è monotona crescente e perciò iniettiva e può assumere il valore una sola volta.
Traccia il grafico delle due funzioni $f(x)=x/(x-1)$ e di $f(x)=2ln(x-1)$, si vede subito che si intersecano in un unico punto, quindi la derivata cambia segno solo una volta. Sostituendo poi i valori 2 e 3 si vede che il punto di intersezione delle due funzioni è maggiore di 3, quindi tra 2 e 3 la derivata prima non cambia segno e resta positiva. Ne segue che, nell'intervallo $[2, 3]$ la funzione è monotona crescente e perciò iniettiva e può assumere il valore una sola volta.
Grazie amelia
Scusa se approfitto stavo ripetendo un po' tutta la mate... xD in questi gg per il compito in cui ha detto xD sarà specchio dell'esame...
Quando hai il limite ad esempio
$lim_(x->pi/2)((x-pi/2)/(sqrt(1-senx))$
è giusto moltiplicare numerator e denominator per $sqrt(1+senx)$ anche se così facendo si altera il campo di esistenza ?? Non me lo ricordo più xD
Ps. da notare il limite dato non esiste... esistono bensì il limiti destro e sinistro
Scusami il disturbo e grazie ancora
Scusa se approfitto
stavo ripetendo un po' tutta la mate... xD in questi gg per il compito in cui ha detto xD sarà specchio dell'esame... Quando hai il limite ad esempio
$lim_(x->pi/2)((x-pi/2)/(sqrt(1-senx))$
è giusto moltiplicare numerator e denominator per $sqrt(1+senx)$ anche se così facendo si altera il campo di esistenza ?? Non me lo ricordo più xD
Ps. da notare il limite dato non esiste... esistono bensì il limiti destro e sinistro
Scusami il disturbo e grazie ancora
E' giusto moltiplicare per il fattore $\sqrt{ 1 + \sin x}$; così facendo non si altera il campo di esistenza:
$\frac{ (x-\frac{\pi}{2}) \sqrt{1+ \sinx} } {\sqrt{1 - \sinx} \sqrt{1+ \sinx} } = \frac{ (x-\frac{\pi}{2}) \sqrt{1+ \sinx} } {|\cos x |}
è ancora definita in un intorno di $\frac {\pi}{2}$.
A causa del valore assoluto, devi distinguere i limiti destro e sinistro ottenendo due valori opposti e così concludi che la funzione data non è continua in $\pi/2$.
$\frac{ (x-\frac{\pi}{2}) \sqrt{1+ \sinx} } {\sqrt{1 - \sinx} \sqrt{1+ \sinx} } = \frac{ (x-\frac{\pi}{2}) \sqrt{1+ \sinx} } {|\cos x |}
è ancora definita in un intorno di $\frac {\pi}{2}$.
A causa del valore assoluto, devi distinguere i limiti destro e sinistro ottenendo due valori opposti e così concludi che la funzione data non è continua in $\pi/2$.
Grazie effettivamente ora che ci penso la condizione $x$ diverso da $-pi/2$ data da $sqrt(1+sinx)$ non conta ai fini del limite poiché stiamo considerando un opportuno intorno di $pi/2$
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