Urgenza compito!

[Sirya]

buonasera!
sto impazzendo da stamattina con un problema di geometria certamente facilissimo.
in una circonferenza di diametro AB=2r è inscritto un triangolo rettangolo ABC, retto in C ed avente il cateto CB uguale al doppio del cateto AC. Sia P un punto dell'arco di estremi A e B che non contiene C.
1) Determinare i cateti del triangolo ABC ed i valori di $sin(CAB)$ e $cos(CAB)$
2) Posto $x=cotg(CAP)$, esprimere il rapporto $R(x)=(4(AB)^2-4(CP)^2)/(5(PB)^2+3(CP)^2)$
3) Studiare tale rapporto e tracciarne il relativo grafico

il primo punto l'ho risolto:
$AC=2r*sqrt(5)/5$
$BC=r*sqrt(5)/5$
$sin(CAB)=2sqrt(5)/5$
$cos(CAB)=sqrt(5)/5$

ma mi blocco al secondo punto.
qualcuno mi può aiutare?
grazie e buona serata!

[elgiovo]

Mmmm... mesa che il primo punto non l'hai risolto. Seno e coseno degli angoli di un triangolo siffatto non dipendono certo da $r$.

[Sirya]

elgiovo:Mmmm... mesa che il primo punto non l'hai risolto. Seno e coseno degli angoli di un triangolo siffatto non dipendono certo da $r$.

infatti non dipendono da r. sono i cateti che dipendono da r

[elgiovo]

Pardon...

[Sirya]

elgiovo:Pardon...

figurati, non c'è problema

[elgiovo]

Comunque il seno non mi torna. Sia $y=AC$ e $2y=BC$, sia $alpha$ l'angolo di cui vogliamo sin e cos. Allora si ha che $2y=r sin alpha$ e che $y=r cos alpha$, da cui $(2y)/(sin alpha)=(y)/(cos alpha)$. Posto $cos alpha=sqrt(1-(sinalpha)^2)$ si ha che $sin alpha=4 sqrt5/5$.

[Sirya]

elgiovo:Comunque il seno non mi torna. Sia $y=AC$ e $2y=BC$, sia $alpha$ l'angolo di cui vogliamo sin e cos. Allora si ha che $2y=r sin alpha$ e che $y=r cos alpha$, da cui $(2y)/(sin alpha)=(y)/(cos alpha)$. Posto $cos alpha=sqrt(1-(sinalpha)^2)$ si ha che $sin alpha=4 sqrt5/5$.

$2y=2r sin alpha$ e $y=2r cos alpha$, quindi $(2y)/(sin alpha)=(y)/(cos alpha)$. Posto $cos alpha=sqrt(1-(sinalpha)^2)$ si ha che $(sin alpha)^2=4/5$ quindi $sin alpha=2 sqrt5/5$

[elgiovo]

Stasera sono sfasato.

[cozzataddeo]

Poiché il triangolo $ACB$ è rettangolo in $C$ allora il lato $AB$ sta sul diametro della circonferenza, perciò $AB=2r$. Inoltre da ciò segue anche che l'arco $AB$ che non contiene $C$ è una semicirconferenza e quindi il triangolo $APB$ è rettangolo in $P$.
La relazione $R(x)$, raccogliendo a numeratore e denominatore la quantità $CP^2$ può essere riscritta come

$R(x)=(4AB^2-4CP^2)/(5PB^2+3CP^2)=(4((AB)/(CP))^2-4)/(5((PB)/(CP))^2+3)$

Per il teorema della corda si ha

$CP=2rsenCAP$
$PB=2rsen(CAP-CAB)=2r(senCAPcosCAB-cosCAPsenCAB)$

quindi si ha

$((PB)/(CP))^2=((2r(senCAPcosCAB-cosCAPsenCAB))/(2rsenCAP))^2=((senCAPcosCAB-cosCAPsenCAB)/(senCAP))^2=(cosCAB-ctgCAP*senCAB)^2=(1/sqrt5-x2/sqrt5)^2$

Tenendo conto della relazione trigonometrica

$sen^2\alpha=1/(1+ctg^2\alpha)$

si ha

$((AB)/(CP))^2=((2r)/(2rsenCAP))^2=1/(sen^2CAP)=1+ctg^2CAP=1+x^2$

Sostituendo le espressioni calcolate nella frazione $R(x)$ si ottiene:

$R(x)=(4(1+x^2)-4)/(5(1/sqrt5-2/sqrt5x)^2+3)=(4x^2)/(4x^2-4x+1+3)=x^2/(x^2-x+1)$

A meno di errori di conti dovrebbe essere essere giusta la funzione, non so se c'è un procedimento piú elegante e semplice per determinarla, se cosí non è il problema effettivamente non è proprio "facilissimo"...