(urgente!!!) Problema di Matematica sulla circonferenza

[piastrino]

es. 35
Non ho capito come fare questo esercizio di geometria analitica sulla circonferenza, mi potreste aiutare
Determina gli eventuali valori di k per cui l'equazione x^2+y^2-2x+2y+k+3=0 rappresenta:
a. una circonferenza (eventualmente degenere)(k<= -1
b. una circonferenza con il centro sull'asse x (nessun valore)
c. una circonferenza passante per l'origine (k=-3)
d. una circonferenza di raggio 2 (k=-5)

[anna.supermath]

L’equazione considerata risulta essere:

[math]
x^2 + y^2 - 2x + 2y + k + 3 = 0
[/math]

A) per risultare una circonferenza l’espressione sotto radice quadrata che rappresenta il raggio in funzione dei parametri a, b e c deve essere maggiore o uguale a zero:

[math]
x^2 + y^2 + ax + cy + c = 0
[/math]

[math]
a = - 2
[/math]

[math]
b = + 2
[/math]

[math]
c = k + 3
[/math]

[math]
r = \sqrt{(\frac{-a}{2})^2 + (\frac{-b}{2})^2 - c}
[/math]

quindi

[math]
r = \sqrt{(\frac{2}{2})^2 + (\frac{-2}{2})^2 - k - 3}
[/math]

per cui

[math]
(\frac{2}{2})^2 + (\frac{-2}{2})^2 - k - 3 \ge 0
[/math]

da cui

[math]
1 + 1 - k - 3 \ge 0
[/math]

quindi

[math]
k \le - 1.
[/math]

B) se il centro si trova sull’asse x, allora

[math]
y_c = 0
[/math]

ossia

[math]
y_c = \frac{-b}{2} = 0
[/math]

[math]
y_c = \frac{-2}{2} = 0
[/math]

che risulta impossibile, quindi per nessun valore di k.

C) se la circonferenza passa per l’origine, allora

[math]
0^2 + 0^2 - 2 (0) + 2(0) + k + 3 = 0
[/math]

ossia

[math]
k = - 3
[/math]

D) se il raggio deve risultare uguale a 2, allora

[math]
r = \sqrt{(\frac{2}{2})^2 + (\frac{-2}{2})^2 - k - 3} = 2
[/math]

ossia

[math]
1 + 1 - k - 3 = 4
[/math]

quindi

[math]
k = -5
[/math]

Se hai dubbi, chiedi pure