URGENTE! Per favore, spiegazione di procedimento INDUZIONE COMPLETA

[Freiheit16]

Potreste aiutarmi a capire il procedimento? Grazie mille

1) Dimostrare, per induzione completa, i valori delle seguenti somme:

a) cosx*cos2x*cos4x*.....cos2^(n-1)* x = [sin2^(n) * x] / [2^(n)* sinx] con sinx diverso da 0

b) 1*2 + 2*2^(2) + 3*2^(3)+ .......+ n*2^(n) = (n-1)* 2^(n+1) + 2

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Seppur mi faccia specie che si studi l'induzione completa al liceo (anche se scientifico) cercherò di darti una mano dimostrando la prima tesi e lasciandoti per esercizio la seconda invitandoti a seguire la tecnica risolutiva che ora ti vado ad esporre.

Dunque, vogliamo dimostrare che per tutti i naturali

[math]n[/math]

vale che

[math]\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdots \cos\left(2^{n-1}\cdot x\right) = \frac{\sin\left(2^n \cdot x\right)}{2^n \cdot \sin x}\\[/math]

.

Base dell'induzione:
L'uguaglianza è sicuramente vera per

[math]n=1[/math]

, perché sia a sinistra che a destra dell'uguale si ha

[math]\cos x[/math]

.


Passo induttivo:
Supponiamo che l'uguaglianza sia vera per

[math]n[/math]

e dimostriamo che allora è vera anche per

[math]n+1[/math]

. In effetti vale

[math]..\,\cos x \cdot \cos 2x \cdot \cos 4x \cdots \cos\left(2^{n-1}\cdot x\right) \cdot \cos\left(2^{(n+1)-1}\cdot x\right)\\[/math]

[math]=\frac{\sin\left(2^n \cdot x\right)}{2^n \cdot \sin x} \cdot \cos\left(2^n \cdot x\right)\\[/math]

[math]=\frac{2\cdot \sin\left(2^n \cdot x\right)\cdot \cos\left( 2^n \cdot x\right)}{2\cdot 2^n \cdot \sin x}\\[/math]

[math]=\frac{\sin\left(2\cdot 2^n \cdot x\right)}{2\cdot 2^n \cdot \sin x}\\[/math]

[math]=\frac{\sin\left(2^{n+1} \cdot x\right)}{2^{n+1} \cdot \sin x}\\[/math]

.

Nella prima riga abbiamo utilizzato l’ipotesi dell’induzione, cioè che l’uguaglianza è vera per

[math]n[/math]

.

[math]\square\\[/math]

Dai, ora prova a dimostrare la seconda tesi. Nel caso riscontrassi altre difficoltà non esitare a ricontattarci specificando a che punto della dimostrazione non sai più andare avanti ;)

[Freiheit16]

Grazie mille!

Aggiunto 17 ore 43 minuti più tardi:

Per la seconda, è giusto il procedimento? Alla fine però non riesco ad ottenere l'uguaglianza

....+n*2^(n) = (n-1)*2^(n+1) + 2

è vera per n = 1

con n+1 --> n*2^(n) + (n+1)*2^(n+1) = (n-1)*2^(n+1)+2+(n+1)*2^(n+1)

c'è qualcosa di sbagliato?

Grazie

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Non c'è nulla di sbagliato (anche se mi sarebbe piaciuto un po' più di ordine!), devi solo apporre qualche piccolo ritocco algebrico! :) Infatti, si ha

[math]..\,1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + \cdots + n\cdot 2^n + (n+1)\cdot 2^{n+1}\\[/math]

[math]=(n-1)\cdot 2^{n+1} + 2 + (n+1)\cdot 2^{n+1}\\[/math]

[math]=\left[(n-1)+(n+1)\right]\cdot 2^{n+1} + 2\\[/math]

[math]=2n\cdot 2^{n+1} + 2\\[/math]

[math]=n\cdot 2^1 \cdot 2^{n+1} + 2\\[/math]

[math]= \left[(n+1)-1\right] \cdot 2^{(n+1)+1} + 2\\[/math]

Spero che sia un po' più chiaro! :)

[Freiheit16]

Non riesco a capire l'uguaglianza tra l'espressione prima dell'uguale e l'ultimo passaggio...

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Allora ...
1.

[math]n=n+1-1=(n+1)-1[/math]

;
2.

[math]2^1 \cdot 2^{n+1}=2^{1+n+1}=2^{(n+1)+1}[/math]

;
dove nel punto due ho fatto riferimento alle proprietà delle potenze (estendibili agli esponenziali).
Tutto qui :)

[Freiheit16]

Il problema resta...
come può
n^2 *2^(n) + (n+1)*2^(n+1) essere uguale a [(n+1)-1]*2^((n+1)+1) +2 ?

Anche se trasformo l'ultimo termine, ottengo:

(n)*2^((n+1)+1) +2 = (n)*2^(n+1) * 2^1 +2 ...e non è uguale al primo termine (nell'ultimo termine ho sempre il +2 che dall'altra parte dell'uguale non ho...)

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Ma quando mai ho scritto una cosa del genere? Infatti, se noti un po' più attentamente, ho scritto:

[math]..\,1\cdot 2^1 + 2\cdot 2^2 + 3\cdot 2^3 + \cdots + n\cdot 2^n + (n+1)\cdot 2^{n+1}\\[/math]

[math]= \cdots\\[/math]

[math]= \left[(n+1)-1\right] \cdot 2^{(n+1)+1} + 2\\[/math]

che è ben diverso da quello che scrivi tu :)