URGENTE, per favore chiarimento procedimento di questi 2 problemi
-determina il volume del tetraedro delimitato dai piani 6x-9y-2z+18=0, xy,yz,xz
Ho ottenuto, intersecando i piani degli assi con il piano dato, queste 3 equazioni (di rette?) 6x-9y+18= 0, -9y-2z+18= 0,6x-2z+18= 0.
Poi come posso andare avanti? Devo fare 4 sistemi a 3 equazioni, intersecando i vari piani con quello già dato e così trovo le coordinate dei vertici?
-Calcolare l’ampiezza dell’angolo formato dal piano yz con il piano passante per i punti A(0,0,0), B(-b,0,b), C(b,b,b).
Penso che l’equazione del piano yz sia x=0, quindi vettore normale n = (1,0,0)…Poi però? Anche se trovo l’equazione del piano passante per quei punti ho sempre l’incognita b…devo eliminarla?
Ho ottenuto, intersecando i piani degli assi con il piano dato, queste 3 equazioni (di rette?) 6x-9y+18= 0, -9y-2z+18= 0,6x-2z+18= 0.
Poi come posso andare avanti? Devo fare 4 sistemi a 3 equazioni, intersecando i vari piani con quello già dato e così trovo le coordinate dei vertici?
-Calcolare l’ampiezza dell’angolo formato dal piano yz con il piano passante per i punti A(0,0,0), B(-b,0,b), C(b,b,b).
Penso che l’equazione del piano yz sia x=0, quindi vettore normale n = (1,0,0)…Poi però? Anche se trovo l’equazione del piano passante per quei punti ho sempre l’incognita b…devo eliminarla?
Risposte
-quelli che hai scritto sono piani...stai attenta..ultimamente fai spesso questo errore... metti in sistema due piani, sostituisci un'equazione nell'altra e poi una la scarti e rimani col solo piano in cui hai iserito l'altra equazione... non va bene! l'equazione cartesiana della retta nello spazio è definita come intersezioni tra due piani, quindi, una volta messi in sistema i due piani, fermati...
una volta trovate le rette degli spigoli devi trovarti i vertici quindi cerca le intersezioni intersecando due rette alla volta...
-se non mi fai vedere il procedimento, non sò perchè hai quest'incognita b...
comunque è come per l'altro esercizio... calcoli il piano per A,B,C, e consideri l'angolo formato dalle normali dei piani... detti a, b i vettori che indicano la direzione delle normali(perdonami ma sono stanca e non mi viene il termine preciso), ed alfa l'angolo tra le due rette, si ha
dove * indica il prodotto scalare
una volta trovate le rette degli spigoli devi trovarti i vertici quindi cerca le intersezioni intersecando due rette alla volta...
-se non mi fai vedere il procedimento, non sò perchè hai quest'incognita b...
comunque è come per l'altro esercizio... calcoli il piano per A,B,C, e consideri l'angolo formato dalle normali dei piani... detti a, b i vettori che indicano la direzione delle normali(perdonami ma sono stanca e non mi viene il termine preciso), ed alfa l'angolo tra le due rette, si ha
[math]cos alfa= \frac{a*b}{|a||b|}[/math]
dove * indica il prodotto scalare
Per il primo problema, ho ottenuto le soluzioni uguali a quelle della classe...
6x-9y+18= 0, -9y-2z+18= 0,6x-2z+18= 0 - A(0,2,0), B(-3,0,0),C(0,0,9), D(-3/2,1,9/2), h(distanza da D a piano 6x-9y-2z+18= 0) =9/11.
Soluzione classe: V=1/3*1/2 |OA|*|OB|*|OC|= 9
Però non ho ben capito la formula per il volume...Non dovrebbe essere
V=1/3*Ab*h? Area di base intende Area di ABC, ma non ho capito come fare per calcolarla...E poi non usa l'altezza...
Aggiunto 16 minuti più tardi:
Per il secondo scusami, alla fine penso di esserci riuscita.
Ho trovato il piano ABC x-2y+z=0, ed ho trovato un angolo di 65,9°...Pensi sia giusto?
6x-9y+18= 0, -9y-2z+18= 0,6x-2z+18= 0 - A(0,2,0), B(-3,0,0),C(0,0,9), D(-3/2,1,9/2), h(distanza da D a piano 6x-9y-2z+18= 0) =9/11.
Soluzione classe: V=1/3*1/2 |OA|*|OB|*|OC|= 9
Però non ho ben capito la formula per il volume...Non dovrebbe essere
V=1/3*Ab*h? Area di base intende Area di ABC, ma non ho capito come fare per calcolarla...E poi non usa l'altezza...
Aggiunto 16 minuti più tardi:
Per il secondo scusami, alla fine penso di esserci riuscita.
Ho trovato il piano ABC x-2y+z=0, ed ho trovato un angolo di 65,9°...Pensi sia giusto?
per capire dovresti dirmi cos'è O nella loro soluzione: l'origine o equivale al tuo D?
per il secondo, ok...
per il secondo, ok...
Nono, è l'origine
avevo dato per scontato che i tuoi spigoli fossero giusti, ma ragionandoci non possono esserlo... hai 3 piani xy,xz,yz che si intersecano in un punto, l'origine... e tu non ce l'hai... gli altri vertice saranno uno su ogni asse.
[Visto che hai fatto un po' di confusione coi calcoli, forse ti è più facile impostando vi volta in volta un sistema con 3 soli piani. Essi ti daranno direttamente i 4 punti cercati(come ti avevo accennato stanotte, ero stanca e non ho ragionato sul ragionamento più semplice XD ) ]
Se chiamo A il vertice sull'asse x, B il vertice sull'asse y, C il vertice sull'asse z si ha che OC è l'altezza del tetraedro quindi la formula fatta in classe corrisponde alla formula che conosci...
[Visto che hai fatto un po' di confusione coi calcoli, forse ti è più facile impostando vi volta in volta un sistema con 3 soli piani. Essi ti daranno direttamente i 4 punti cercati(come ti avevo accennato stanotte, ero stanca e non ho ragionato sul ragionamento più semplice XD ) ]
Se chiamo A il vertice sull'asse x, B il vertice sull'asse y, C il vertice sull'asse z si ha che OC è l'altezza del tetraedro quindi la formula fatta in classe corrisponde alla formula che conosci...
Scusami, ma allora devo risolvere tutto da capo?
Eppure mi escono, ed ho fatto in tutto 4 sistemi con 3 equazioni...
usando come piano base 6x-9y-2z+18= 0...Io ho impostato D come vertice dell'asse z però
Eppure mi escono, ed ho fatto in tutto 4 sistemi con 3 equazioni...
usando come piano base 6x-9y-2z+18= 0...Io ho impostato D come vertice dell'asse z però
i piani sono 6x-9y-2z+18=0, z=0, x=0, y=0
quindi i sistemi sono:
che ha soluzione (0,0,9)
che ha soluzione (0,2,0)
che ha soluzione (-3,0,0)
i calcoli son veloci... e come vedi non c'è nessun punto D...
quindi i sistemi sono:
[math]\left{
z=0\\
x=0\\
y=0
[/math]
che dà come soluzione l'originez=0\\
x=0\\
y=0
[/math]
[math]\left{
6x-9y-2z+18=0\\
x=0\\
y=0
[/math]
6x-9y-2z+18=0\\
x=0\\
y=0
[/math]
che ha soluzione (0,0,9)
[math]\left{
6x-9y-2z+18=0\\
x=0\\
z=0
[/math]
6x-9y-2z+18=0\\
x=0\\
z=0
[/math]
che ha soluzione (0,2,0)
[math]\left{
6x-9y-2z+18=0\\
y=0\\
z=0
[/math]
6x-9y-2z+18=0\\
y=0\\
z=0
[/math]
che ha soluzione (-3,0,0)
i calcoli son veloci... e come vedi non c'è nessun punto D...
Ah oky, allora io ho fatto dei passaggi in più per niente...
Quindi non mi serviva trovare i piani 6x-9y+18= 0, -9y-2z+18= 0,6x-2z+18?
Ma però, per la formula del volume, come devo impostare l'area di base?
Cioè, area di base sarebbe = ...?
Quindi non mi serviva trovare i piani 6x-9y+18= 0, -9y-2z+18= 0,6x-2z+18?
Ma però, per la formula del volume, come devo impostare l'area di base?
Cioè, area di base sarebbe = ...?
La base è un triangolo rettangolo quindi cateto*cateto/2.
Tu sai che il volume si calcola come
e se guardi la formula V=1/3*(1/2 |OA|*|OB|)*|OC| vedrai che è la stessa!
Tu sai che il volume si calcola come
[math]V=1/3 A_{base}*h [/math]
e se guardi la formula V=1/3*(1/2 |OA|*|OB|)*|OC| vedrai che è la stessa!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo