Un'altra equazione goniometrica
Ciao, non riesco a risolvere questa equazione goniomentrica:
$1-cos x = sen 3x - sen 2x$
E' un esercizio che fa parte del capitolo sulle equazioni goniomentri elementari e
omogenee di secondo grado in seno e coseno (ebbene sì, sono ancora li...
).
Se tento di raccogliere il più possibile a fattore comune per usare la legge di annullamento del prodotto
non riesco ad andare oltre a:
$(cos x - 1)(2sen x cos x + 1)+(cos^2 x - sen^2 x)sen x = 0$
Se sviluppo completamente i prodotti non ottengo un equazione nella forma che sono capace di risolvere.
Vi viene qualche indea?
$1-cos x = sen 3x - sen 2x$
E' un esercizio che fa parte del capitolo sulle equazioni goniomentri elementari e
omogenee di secondo grado in seno e coseno (ebbene sì, sono ancora li...
).Se tento di raccogliere il più possibile a fattore comune per usare la legge di annullamento del prodotto
non riesco ad andare oltre a:
$(cos x - 1)(2sen x cos x + 1)+(cos^2 x - sen^2 x)sen x = 0$
Se sviluppo completamente i prodotti non ottengo un equazione nella forma che sono capace di risolvere.
Vi viene qualche indea?
Risposte
Ciao,
sviluppa $sen3x$ come $sen(2x+x)$. Ottieni facilmente:
$1-cos x=sen(2x)cos x + cos 2x sen x -sen(2x)$ da cui, con raccoglimento parziale:
$(1-cos x)(1+sen(2x))- cos(2x) sen x=0$.
Ora nota che $1+sen(2x)=(senx+cosx)^2$ e ricorda che $cos (2x)= (cos(x))^2-(sen(x))^2$, poi procedi mettendo in evidenza cos x +sen x.
Le formule di Prostaferesi le hai fatte? Se sì, c'è un metodo più rapido (credo, ho "abbozzato" i conti con entrambi i procedimenti, non li ho svolti completamente).
sviluppa $sen3x$ come $sen(2x+x)$. Ottieni facilmente:
$1-cos x=sen(2x)cos x + cos 2x sen x -sen(2x)$ da cui, con raccoglimento parziale:
$(1-cos x)(1+sen(2x))- cos(2x) sen x=0$.
Ora nota che $1+sen(2x)=(senx+cosx)^2$ e ricorda che $cos (2x)= (cos(x))^2-(sen(x))^2$, poi procedi mettendo in evidenza cos x +sen x.
Le formule di Prostaferesi le hai fatte? Se sì, c'è un metodo più rapido (credo, ho "abbozzato" i conti con entrambi i procedimenti, non li ho svolti completamente).
Ciao luluemicia, grazie per la risposta. Sono riuscito ad andare avanti ancora un po' ma non fino alla fine 
.
Mettendo in evidenza $cos x + sen x$ arrivo a
$(sen x + cos x)[(1-cos x)(sen x + cos x)-(cos x - sen x)sen x]=0$
e così trovo la prima soluzione che ritrovo tra i risultati corretti.
Quello che rimane lo sviluppo e arrivo a :
$sen^2 x - cos^2 x -2 sen x cos x + sen x + cos x = 0$
Metto in evidenza $senx + cos x$
$(sen x + cos x)(sen x - cos x + 1) -2 senx cos x = 0$
E qui mi fermo...
.Mettendo in evidenza $cos x + sen x$ arrivo a
$(sen x + cos x)[(1-cos x)(sen x + cos x)-(cos x - sen x)sen x]=0$
e così trovo la prima soluzione che ritrovo tra i risultati corretti.
Quello che rimane lo sviluppo e arrivo a :
$sen^2 x - cos^2 x -2 sen x cos x + sen x + cos x = 0$
Metto in evidenza $senx + cos x$
$(sen x + cos x)(sen x - cos x + 1) -2 senx cos x = 0$
E qui mi fermo...
Ciao Guglielmo, ti ricordo che, come già detto nel post precedente, per tale esercizio sarebbe convenuto l'uso delle formule di Prostaferesi. Se non le hai ancora fatte, ti consiglio di ricordarti di quest'esercizio e di farlo con dette formule quando le studierai. Intanto facciamolo senza usarle.
Al punto in cui sei arrivato ti indico 3 modi per procedere:
Primo modo: esprimi il quadrato del coseno in funzione del quadrato del seno e poi metti in evidenza -cos x tra i termini che lo contengono. Troverai:
$ 2 sen^2(x) + sen x -1 -cosx*(2senx-1)=0$ da cui $(2senx-1)(senx+1)-cosx(2senx-1)=0$ e, quindi,.......
Secondo modo: usando le formule parametriche troverai: $t(t^3-3t^2+3t-1)=0$ da cui .......
Terzo modo: nota che puoi scrivere:
$senx+cosx-sen(2x)-cos(2x)=0$; al posto di x metti $3/2x-x/2$ ed al posto di 2x metti $3/2x+x/2$ e poi applica le formule di sottrazione del seno e del coseno e poi quelle di addizione. Troverai: $senx/2(sen(3/2x)-cos( 3/2 x))=0$ da cui......
Dopo ciò facciamo l'esercizio con un altro metodo ancora ma ricominciando dalla traccia. Usa al primo membro la formula di bisezione del seno e al secondo membro scrivi 3x come 5/2x+x/2 e 2x come 5/2x-x/2 e usa le formule di addizione e sottrazione del seno. Troverai: $sen (x/2)*(sen(x/2)-cos(5/2x))=0$ .........
Fammi sapere se ti trovi o se c'è qualcosa che non ti è chiaro.
Ciao
Al punto in cui sei arrivato ti indico 3 modi per procedere:
Primo modo: esprimi il quadrato del coseno in funzione del quadrato del seno e poi metti in evidenza -cos x tra i termini che lo contengono. Troverai:
$ 2 sen^2(x) + sen x -1 -cosx*(2senx-1)=0$ da cui $(2senx-1)(senx+1)-cosx(2senx-1)=0$ e, quindi,.......
Secondo modo: usando le formule parametriche troverai: $t(t^3-3t^2+3t-1)=0$ da cui .......
Terzo modo: nota che puoi scrivere:
$senx+cosx-sen(2x)-cos(2x)=0$; al posto di x metti $3/2x-x/2$ ed al posto di 2x metti $3/2x+x/2$ e poi applica le formule di sottrazione del seno e del coseno e poi quelle di addizione. Troverai: $senx/2(sen(3/2x)-cos( 3/2 x))=0$ da cui......
Dopo ciò facciamo l'esercizio con un altro metodo ancora ma ricominciando dalla traccia. Usa al primo membro la formula di bisezione del seno e al secondo membro scrivi 3x come 5/2x+x/2 e 2x come 5/2x-x/2 e usa le formule di addizione e sottrazione del seno. Troverai: $sen (x/2)*(sen(x/2)-cos(5/2x))=0$ .........
Fammi sapere se ti trovi o se c'è qualcosa che non ti è chiaro.
Ciao
Ciao luluemicia, l'ho finito usando il tuo primo modo. Le formule di Prostaferesi le ho studiate ma ne avevo scartato l'uso per via del fatto che le frazioni nell'incognita mi sembravano scomode.
Grazie ancora per la pazienza.
Ciao
Grazie ancora per la pazienza.
Ciao
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