Una tangente, due circonferenze, un diametro da uguagliare.

[maker]

Mi servirebbe una mano con questo problema, o perlomeno qualche dritta su come procedere. Riporto di seguito il testo:

«Due circonferenze $T$ e $S$ si toccano esternamente in $K $ e hanno una tangente comune che tocca $T$ in $A$ e $S$ in $B$. Sia $AP$ un diametro di $T$ e sia $Q$ uno dei due punti in cui la tangente a $S$ da $P$ incontra $S$. Dimostrare che $AP = PQ$»

Ho cercato di risolverlo usando i teoremi delle secanti (facendo il grafico noterete che la retta passante per $PQ$ è secante a $T$ e tangente a $S$), ma non riesco ad uscirne comunque, ci sono troppe variabili in giro. Qualche suggerimento?

[piero_1]

ciao e benvenuto nel forum.

Intanto mettiamo il disegnino.



A occhio utilizzerei le similitudini, ma vediamo se qualcuno ha già in mente una soluzione.

[giammaria2]

Indico ordinatamente con [tex]r, R[/tex] i raggi di [tex]T,S[/tex] e con [tex]H, K[/tex] le proiezioni di [tex]O, P[/tex] sula retta [tex]O'B[/tex] e noto che [tex]OH=PK[/tex]. Applico ripetutamente il teorema di Pitagora.

Triangolo [tex]OO'H[/tex]
$\bar(OH)^2=\bar(OO')^2-\bar(O'H)^2=(r+R)^2-(R-r)^2=4rR$

Triangolo [tex]PKO'[/tex]
$\bar(PO')^2=\bar(PK)^2+\bar(O'K)^2=4rR+(R-2r)^2=R^2+4r^2$

Triangolo [tex]PQO'[/tex]
$\bar(PQ)^2=\bar(PO')^ 2-\bar(QO')^2=(R^2+4r^2)-R^2=4r^2$

Quindi $\bar(PQ)=2r=\bar(AP)$
Forse si può fare di meglio...

[G.D.5]

[maker]

@Giammaria
Forse con i teoremi di Euclide si salta qualche passagigo?

"WiZaRd":

Fighissimo, non avevo pensato alla potenza di un punto; ti ringrazio!

[G.D.5]

Ho usato anche uno dei Teoremi di Euclide per ottenere [tex]PA^{2}[/tex].