Una (simil)definizione numero primo
Ho provato a scrivere in simboli (delle scuole superiori) una definizione di numero primo `p`:
`p in NN-{0,1} : AA q in NN_0, p/q !in NN-{1,p}`
(`NN_0=NN-{0}`)
Si può dire che è corretta?
Grazie.
`p in NN-{0,1} : AA q in NN_0, p/q !in NN-{1,p}`
(`NN_0=NN-{0}`)
Si può dire che è corretta?
Grazie.
Risposte
Formalmente no, perché in $NN$ il simbolo $p/q$ non esiste.
Capisco però che tu usi quella notazione per indicare una divisione, ma anche in questo caso la risposta è no, perché devi tenere conto del teorema della divisione euclidea (la divisione non è una operazione).
Capisco però che tu usi quella notazione per indicare una divisione, ma anche in questo caso la risposta è no, perché devi tenere conto del teorema della divisione euclidea (la divisione non è una operazione).
"WiZaRd":
Formalmente no, perché in $NN$ il simbolo $p/q$ non esiste.
Capisco però che tu usi quella notazione per indicare una divisione, ma anche in questo caso la risposta è no, perché devi tenere conto del teorema della divisione euclidea (la divisione non è una operazione).
Potresti essere più chiaro per favore?
cosa dice questo teorema? A me sembra che con la definizione di vanpic si trovino effettivamente i numeri primi, allora il problema è solo formale?
perchè è vero che $NN$ non è un insieme chiuso rispetto alla divisione, però possiamo dire che il numero $10/2$ appartiene ad $NN$, o sbaglio?
Il problema è proprio questo: il numero $(10)/2$ non appartiene a $NN$, ma appartiene all'immersione canonica di $ZZ$ in $QQ$ e segnatamente all'immersione canonica di quella parte di $ZZ$ che è l'immersione canonica di $NN$ in $ZZ$.
In $NN$ il simbolo $(10)/2$ non esiste, quindi non ha alcun senso chiedersi se esso appartiene o meno a $NN$. Quella che volgarmente viene chiamata operazione di divisione è più propriamente un algoritmo che permette di determinare due numeri $q,r$ a partire da due numeri $m,n$:
Teorema della Divisione Euclidea
Dati $m,n \in \mathbb{N}^{+}$, allora $\exists ! q,r \in \mathbb{N} : nq+r=m$ con la proprietà $0<=r
Dopo se si vuole indicare brevemente questa cosa si usa la notazione $m \div n$, ma questa notazione non indica un numero, ma un algoritmo: non di rado si trova infatti scritto $3 \div 2$ fa $1$ con resto $1$. Diverso è il discorso della frazione, che indica un numero e in $NN$ non è definito.
In $NN$ il simbolo $(10)/2$ non esiste, quindi non ha alcun senso chiedersi se esso appartiene o meno a $NN$. Quella che volgarmente viene chiamata operazione di divisione è più propriamente un algoritmo che permette di determinare due numeri $q,r$ a partire da due numeri $m,n$:
Teorema della Divisione Euclidea
Dati $m,n \in \mathbb{N}^{+}$, allora $\exists ! q,r \in \mathbb{N} : nq+r=m$ con la proprietà $0<=r
Dopo se si vuole indicare brevemente questa cosa si usa la notazione $m \div n$, ma questa notazione non indica un numero, ma un algoritmo: non di rado si trova infatti scritto $3 \div 2$ fa $1$ con resto $1$. Diverso è il discorso della frazione, che indica un numero e in $NN$ non è definito.
"In matematica, un numero primo (in breve anche primo) è un numero naturale maggiore di uno che sia divisibile solamente per uno e per sé stesso"
Questa è la definizione (da Wikipedia) che si trova anche nei testi delle superiori (o almeno nel mio).
Ho provato a scriverla con la simbologia che conosco, ben sapendo di incappare in errori formali, per questo vi ringrazio degli interventi.
In effetti davo per scontata la correttezza di scritture del tipo:
`10/2=5 in NN hArr 10/2inNN`
`7/2 !in NN`
Questa è la definizione (da Wikipedia) che si trova anche nei testi delle superiori (o almeno nel mio).
Ho provato a scriverla con la simbologia che conosco, ben sapendo di incappare in errori formali, per questo vi ringrazio degli interventi.
In effetti davo per scontata la correttezza di scritture del tipo:
`10/2=5 in NN hArr 10/2inNN`
`7/2 !in NN`
Il problema è che il concetto di divisibilità non dipende da quello di divisione.
DEFINIZIONE
Dati $m,n \in \mathbb{N}$, $m$ è divisibile per $n$, e si scrive $n|m$ se e solo se $\exists x \in \mathbb{N} : xn=m$.
Da questa definizione è evidente che $0$ è divisibile per se stesso, in contrasto col fatto che la divisione $0 \div 0$ non si può fare.
Attenzione alle definizioni. Soprattutto quando le si formula: definire un ente significa specificarlo in funzione di altri enti più elementari.
DEFINIZIONE
Dati $m,n \in \mathbb{N}$, $m$ è divisibile per $n$, e si scrive $n|m$ se e solo se $\exists x \in \mathbb{N} : xn=m$.
Da questa definizione è evidente che $0$ è divisibile per se stesso, in contrasto col fatto che la divisione $0 \div 0$ non si può fare.
Attenzione alle definizioni. Soprattutto quando le si formula: definire un ente significa specificarlo in funzione di altri enti più elementari.
Il problema non è che è sbagliato in assoluto dire $7/2 \notin NN$, ma è sbagliato dirlo in una definizione.
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