Una proprietà della parabola
Scegliamo un punto $P$ di una parabola $\gamma$;
costruiamo la tangente $t$ a $\gamma$ nel punto $P$;
costruiamo la tangente $r$ a $\gamma$ nel vertice $V$.
Dimostrare che la retta passante per il fuoco $F$ e per il punto
$Q$ di intersezione tra $t$ e $r$ è perpendicolare a $t$.
Ho dimostrato la proprietà in modo analitico per le parabole $y=k x^2$
(basta solo lei per motivi "traslatori").
Altre idee?
costruiamo la tangente $t$ a $\gamma$ nel punto $P$;
costruiamo la tangente $r$ a $\gamma$ nel vertice $V$.
Dimostrare che la retta passante per il fuoco $F$ e per il punto
$Q$ di intersezione tra $t$ e $r$ è perpendicolare a $t$.
Ho dimostrato la proprietà in modo analitico per le parabole $y=k x^2$
(basta solo lei per motivi "traslatori").
Altre idee?
Risposte
Ricordando che le coordinate del Fuoco per una parabola del tipo $y=ax^2+bx+c$ sono:
$F=(-b/(2a),-b^2+c+1/(4a))$
Allora $t$ è determinato da $P=(x_0,y_0)$ con $y_o=ax_0^2+bx_0+c$:
$t:{(y-y_0=m(x-x_0)),(m=2ax_0+b):}$
il vertice ha coordinate $V=(-b/2a, -Delta/4a)$ ed è orizontale, quindi:
$r: y=-Delta/(4a)$
Il punto di incontro $Q$ è:
$-Delta/(4a)-ax_0^2-bx_0-c=(2ax_0+b)*(x-x_0)$
ovvero:
che dopo qualche conto porta a:
$Q=((-Delta/(8a^2x_0)-3/2x_0),-Delta/(4a))$
Da qui i coefficiente angolare della retta per $P$ e $Q$ è:
$ (y_Q-y_P)/(x_Q-x_P) = (-Delta/(4a)-(-b^2+c+1/(4a)))/((-Delta/(8a^2x_0)-3/2x_0)-(-b/(2a)))$
$ (y_Q-y_P)/(x_Q-x_P) = (-2ax_0)/(-Delta-4ax_0(3ax_0-1))$
Da qui la perpendicolarità tra $t$ e la retta per $P,Q$ è determinata da:
$ (y_Q-y_P)/(x_Q-x_P) * (2ax_0+b) = -1$
Da qui penso che in qualche maniera ci si arrivi... ti consiglio comunque di controllare i miei conti... essendo troppi, di certo c'è un errore che ora non vedo
$F=(-b/(2a),-b^2+c+1/(4a))$
Allora $t$ è determinato da $P=(x_0,y_0)$ con $y_o=ax_0^2+bx_0+c$:
$t:{(y-y_0=m(x-x_0)),(m=2ax_0+b):}$
il vertice ha coordinate $V=(-b/2a, -Delta/4a)$ ed è orizontale, quindi:
$r: y=-Delta/(4a)$
Il punto di incontro $Q$ è:
$-Delta/(4a)-ax_0^2-bx_0-c=(2ax_0+b)*(x-x_0)$
ovvero:
che dopo qualche conto porta a:
$Q=((-Delta/(8a^2x_0)-3/2x_0),-Delta/(4a))$
Da qui i coefficiente angolare della retta per $P$ e $Q$ è:
$ (y_Q-y_P)/(x_Q-x_P) = (-Delta/(4a)-(-b^2+c+1/(4a)))/((-Delta/(8a^2x_0)-3/2x_0)-(-b/(2a)))$
$ (y_Q-y_P)/(x_Q-x_P) = (-2ax_0)/(-Delta-4ax_0(3ax_0-1))$
Da qui la perpendicolarità tra $t$ e la retta per $P,Q$ è determinata da:
$ (y_Q-y_P)/(x_Q-x_P) * (2ax_0+b) = -1$
Da qui penso che in qualche maniera ci si arrivi... ti consiglio comunque di controllare i miei conti... essendo troppi, di certo c'è un errore che ora non vedo
Io ho fatto meno conti:
retta tangente alla parabola $y=ax^2$ in $P_0$: $y = a x_0 (2x - x_0)$
questa retta interseca l'asse $x$ nel punto $Q = (x_0/2;0)$.
La retta passante per il fuoco $F=(0;1/(4a))$ e per $Q$ ha equazione $y = 1/(4a) - 1/(2 a x_0) x$.
I coefficienti angolari delle due rette hanno prodotto $=-1$.
retta tangente alla parabola $y=ax^2$ in $P_0$: $y = a x_0 (2x - x_0)$
questa retta interseca l'asse $x$ nel punto $Q = (x_0/2;0)$.
La retta passante per il fuoco $F=(0;1/(4a))$ e per $Q$ ha equazione $y = 1/(4a) - 1/(2 a x_0) x$.
I coefficienti angolari delle due rette hanno prodotto $=-1$.
Provo a darne una prova sintetica.
Siano $\gamma$ una parabola, $P \in \gamma$, $t$ la tangente a $\gamma$ in $P$, $V$ il vertice della parabola, $r$ la tangente a $\gamma$ in $V$, $Q=r \cap t$, $F$ il fuoco della parabola, $d$ la sua direttrice e $a$ il suo asse (figura sotto riportata). Si vuole provare che $\angleFPQ=90°$
Per assurdo, sia $\angleFQP \ne 90°$.
Per $P$ si può senz'altro condurre una retta perpendicolare alla retta $FQ$: tale retta sarà secante $\gamma$, intersecandola, oltre che in $P$, anche in $R$, e intersecherà $FQ$ in $M$. Condotta la retta $VM$, si conduca per $F'$ (intersezione della direttrice $d$ con l'asse $a$ e, per tanto, tale che $FV=VF'$) la parallela a $VM$ e sia $S$ la sua intersezione con la retta $FQ$.
Per il Teorema di Talete, da $FV=VF'$ segue $FM=MS$; essendo $\angleFMP=\angleSMP=90°$ ed avendo i triangoli $FMP$ e $SMP$ il lato $MP$ in comune, si ha che $PF=PS$. Ma poiché la retta $F'S$ interseca la direttrice $d$ in $F'$, risulta che $S$ è distinto da $P'$, ove $P'$ è la proiezione di $P$ su $d$, e risulta anche che $PS \ne PP'$, il che costituisce un assurdo, rappresentando che $P$ pur stando sulla parabola non gode della proprietà che la caratterizza.
Va bene o ho sparato qualche cavolata che richiederà la mia censura sul forum?
Siano $\gamma$ una parabola, $P \in \gamma$, $t$ la tangente a $\gamma$ in $P$, $V$ il vertice della parabola, $r$ la tangente a $\gamma$ in $V$, $Q=r \cap t$, $F$ il fuoco della parabola, $d$ la sua direttrice e $a$ il suo asse (figura sotto riportata). Si vuole provare che $\angleFPQ=90°$
Per assurdo, sia $\angleFQP \ne 90°$.
Per $P$ si può senz'altro condurre una retta perpendicolare alla retta $FQ$: tale retta sarà secante $\gamma$, intersecandola, oltre che in $P$, anche in $R$, e intersecherà $FQ$ in $M$. Condotta la retta $VM$, si conduca per $F'$ (intersezione della direttrice $d$ con l'asse $a$ e, per tanto, tale che $FV=VF'$) la parallela a $VM$ e sia $S$ la sua intersezione con la retta $FQ$.
Per il Teorema di Talete, da $FV=VF'$ segue $FM=MS$; essendo $\angleFMP=\angleSMP=90°$ ed avendo i triangoli $FMP$ e $SMP$ il lato $MP$ in comune, si ha che $PF=PS$. Ma poiché la retta $F'S$ interseca la direttrice $d$ in $F'$, risulta che $S$ è distinto da $P'$, ove $P'$ è la proiezione di $P$ su $d$, e risulta anche che $PS \ne PP'$, il che costituisce un assurdo, rappresentando che $P$ pur stando sulla parabola non gode della proprietà che la caratterizza.
Va bene o ho sparato qualche cavolata che richiederà la mia censura sul forum?
"WiZaRd":
Va bene o ho sparato qualche cavolata che richiederà la mia censura sul forum?
Dai, non fare sempre il modesto.
Comunque l'ho letta, e mi sembra limpida.
Ovviamente sentiamo il parere di franced.
Ciao!
"Steven":
Dai, non fare sempre il modesto.
Non è modestia, è che veramente sono assalito dai dubbi dopo che faccio qualche dimostrazione (o, più in generale, qualche esercizio)!
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