Una parabola maledetta
devo trovare l'equazione di una parabola sapendo che il vertice ha x=3/2 e la tangente t nel punto di ascissa 3 forma con la retta r:y+2x-8=0 un angolo di 45° (t muovendosi in direzione antioraria descrive un angolo di 45° per sovrapporsi a r).
Con questi dati riesco a impostare solo 2 equazioni. me ne manca una per ricavare a, b, c coefficienti della parabola.
Cosa ho trascurato?
grazie
Con questi dati riesco a impostare solo 2 equazioni. me ne manca una per ricavare a, b, c coefficienti della parabola.
Cosa ho trascurato?
grazie
Risposte
Ciao,
quali sono le equazioni che hai trovato e come le hai trovate?
ps: quando scrivi un equazione o una espressione matematica, metti il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine, per farla apparire decentemente
Prima di inviare il messaggio magari clicca su "anteprima", a fianco di "invia" per vedere se appare tutto bene.
Ciao.
quali sono le equazioni che hai trovato e come le hai trovate?
ps: quando scrivi un equazione o una espressione matematica, metti il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine, per farla apparire decentemente
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Ciao.
Forse si deve supporre che le due rette si incontrino nel punto di tangenza per cui la parabola passa per il punto (3;2).
"gabriello47":
devo trovare l'equazione di una parabola sapendo che il vertice ha x=3/2 e la tangente t nel punto di ascissa 3 forma con la retta r:y+2x-8=0 un angolo di 45° (t muovendosi in direzione antioraria descrive un angolo di 45° per sovrapporsi a r).
Con questi dati riesco a impostare solo 2 equazioni. me ne manca una per ricavare a, b, c coefficienti della parabola.
Cosa ho trascurato?
grazie
La tua parabola la puoi scrivere così:
$y = a (x-3/2)^2 + k$.
Hai due parametri e due equazioni.
"gabriello47":
Con questi dati riesco a impostare solo 2 equazioni. me ne manca una per ricavare a, b, c coefficienti della parabola.
Cosa ho trascurato?
grazie
Hai trascurato la simmetria della parabola rispetto all'asse.
Quando hai qualche informazione sul vertice, devi tenerne conto in modo particolare!
Il vertice non è un punto qualsiasi..
A mio avviso è vero che manca un dato, probabilmente ha ragione Mamo.
Infatti scritta la parabola, come ha fatto franced, nella forma $y = a(x-3/2)^2+k$ (quindi avendo usato l'informazione sul vertice) la seconda condizione riguarda solo $a$ e non $k$. Se non ho sbagliato i conti risulta $a=1$, quindi tutte le parabole della forma $y = (x-3/2)^2+k$ risolvono il problema.
Infatti scritta la parabola, come ha fatto franced, nella forma $y = a(x-3/2)^2+k$ (quindi avendo usato l'informazione sul vertice) la seconda condizione riguarda solo $a$ e non $k$. Se non ho sbagliato i conti risulta $a=1$, quindi tutte le parabole della forma $y = (x-3/2)^2+k$ risolvono il problema.
"gabriello47":
devo trovare l'equazione di una parabola sapendo che il vertice ha x=3/2 e la tangente t nel punto di ascissa 3 forma con la retta r:y+2x-8=0 un angolo di 45° (t muovendosi in direzione antioraria descrive un angolo di 45° per sovrapporsi a r).
Quando si dice che la parabola ha per tangente $t$ nel punto di ascissa 3 una retta che forma un angolo di 45 gradi con $y=-2x+8$
significa che la parabola passa per il punto $(3; 2)$ e quindi, per simmetria, anche per $(0;2)$, visto che l'ascissa del vertice è $3/2$.
Quindi il $c$ della parabola è uguale a $2$.
Scusate, non capisco perché il problema dovrebbe essere indeterminato;
la parabola la scrivete così:
$y = a(x-3/2)^2 + k$
la condizione di passaggio dal punto $(3;2)$ fornisce la prima equazione:
$2 = a(3-3/2)^2 + k$
la condizione sulla tangente fornisce la seconda condizione.
Due equazioni lineari in due incognite.
la parabola la scrivete così:
$y = a(x-3/2)^2 + k$
la condizione di passaggio dal punto $(3;2)$ fornisce la prima equazione:
$2 = a(3-3/2)^2 + k$
la condizione sulla tangente fornisce la seconda condizione.
Due equazioni lineari in due incognite.
Dunque, a me la pendenza della retta tangente viene uguale a 3.
Quindi, derivando la mia equazione si ottiene:
$y' = 2a(x-3/2)$
per $x=3$ abbiamo che $y' = 3$:
$3 = 2a (3-3/2)$
cioè $a = 1$.
Resta da determinare $k$, che si trova con l'altra equazione.
Quindi, derivando la mia equazione si ottiene:
$y' = 2a(x-3/2)$
per $x=3$ abbiamo che $y' = 3$:
$3 = 2a (3-3/2)$
cioè $a = 1$.
Resta da determinare $k$, che si trova con l'altra equazione.
"franced":
la condizione di passaggio dal punto $(3;2)$ fornisce la prima equazione
Questo è il punto: dove viene chiesto il passaggio per (3,2) ? Non mi pare che il testo lo richieda. Dice solo che la tangente nel punto di ascissa 3 forma con una data retta un dato angolo, non specifica il punto di intersezione della tangente con la data retta.. no?
D'altra parte credo che il testo intendesse implicitamente che l'intersezione tra le due rette avvenga nel punto di tangenza.
"franced":
cioè $a = 1$.
Resta da determinare $k$, che si trova con l'altra equazione.
Facciamo il calcolo:
$2 = 1 cdot (3-3/2)^2 + k$
$2 = (3/2)^2 + k$
$k = 2 - (3/2)^2 = 2 - 9/4 = -1/4$.
La parabola è:
$y = (x - 3/2)^2 - 1/4$.
"Martino":
[quote="franced"]la condizione di passaggio dal punto $(3;2)$ fornisce la prima equazione
Questo è il punto: dove viene chiesto il passaggio per (3,2) ? Non mi pare che il testo lo richieda. Dice solo che la tangente nel punto di ascissa 3 forma con una data retta un dato angolo, non specifica il punto di intersezione della tangente con la data retta.. no?
D'altra parte credo che il testo intendesse implicitamente che l'intersezione tra le due rette avvenisse nel punto di tangenza.[/quote]
Scusa allora era inutile specificare proprio quella retta, non credi?
Per me è ovvio che le due rette si intersecano proprio in quel punto!
la parabola è
$y=a*x^2+b*x^+c$
Sappiamo che passa per P (3;2) quindi la prima condizione è che $2=9a+3b+c.
Poi il vertice vale $x=3/2$ quindi $-b/2a=3/2$
E l'ultima condizione è che forma un angolo di 45 ° nel punto di ascissa 3. Quindi la derivata, calcolata in x =3 deve essere uguale a 1. Quindi $6a+b=1$
Quindi risulta un sistema a 3 equazioni lineare.
$y=a*x^2+b*x^+c$
Sappiamo che passa per P (3;2) quindi la prima condizione è che $2=9a+3b+c.
Poi il vertice vale $x=3/2$ quindi $-b/2a=3/2$
E l'ultima condizione è che forma un angolo di 45 ° nel punto di ascissa 3. Quindi la derivata, calcolata in x =3 deve essere uguale a 1. Quindi $6a+b=1$
Quindi risulta un sistema a 3 equazioni lineare.
"franced":
[quote="Martino"][quote="franced"]la condizione di passaggio dal punto $(3;2)$ fornisce la prima equazione
Questo è il punto: dove viene chiesto il passaggio per (3,2) ? Non mi pare che il testo lo richieda. Dice solo che la tangente nel punto di ascissa 3 forma con una data retta un dato angolo, non specifica il punto di intersezione della tangente con la data retta.. no?
D'altra parte credo che il testo intendesse implicitamente che l'intersezione tra le due rette avvenisse nel punto di tangenza.[/quote]
Scusa allora era inutile specificare proprio quella retta, non credi?
Per me è ovvio che le due rette si intersecano proprio in quel punto![/quote]
Resta il fatto che il testo non specifica il punto di intersezione. Quindi, anche se sono del tutto d'accordo con te e non mi vengono in mente altre possibili interpretazioni del testo, mi duole ammettere che il problema è sottodeterminato.
"Martino":
[quote="franced"][quote="Martino"][quote="franced"]la condizione di passaggio dal punto $(3;2)$ fornisce la prima equazione
Questo è il punto: dove viene chiesto il passaggio per (3,2) ? Non mi pare che il testo lo richieda. Dice solo che la tangente nel punto di ascissa 3 forma con una data retta un dato angolo, non specifica il punto di intersezione della tangente con la data retta.. no?
D'altra parte credo che il testo intendesse implicitamente che l'intersezione tra le due rette avvenisse nel punto di tangenza.[/quote]
Scusa allora era inutile specificare proprio quella retta, non credi?
Per me è ovvio che le due rette si intersecano proprio in quel punto![/quote]
Resta il fatto che il testo non specifica il punto di intersezione. Quindi, anche se sono del tutto d'accordo con te e non mi vengono in mente altre possibili interpretazioni del testo, mi duole ammettere che il problema è sottodeterminato.[/quote]
Diciamo che nel testo non ci stava male una frase del tipo: "la parabola passa dall'intersezione delle rette..."
grazie a tutti. In effetti non riesco a dare per scontato che $t$ e $r$ s'incontrino proprio nel punto di ascissa 3. Vedo che allora il problema resta indeterminato.
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