Una equazione trascendente
Determinare tutte le soluzioni intere
dell'equazione:
(2^x)*(4-x)=2x+4
giustificando l'eventuale risposta.
karl.
dell'equazione:
(2^x)*(4-x)=2x+4
giustificando l'eventuale risposta.
karl.
Risposte
Fireball 6 fuori strada...stai commettendo lo stesso errore che hai commesso alle olimpiadi di Archimede[V],in quanto le radici sono intere nn reali...
Francamente nn so se questo problema possa essere risolvibile con logaritmi(che io nn ho studiato);ad ogni modo qua presento una dimostrazione originale che presuppone una buona conoscenza degli insiemi(che io ho studiato in 1°liceo):
Si considerino i 3 casi distinti:
1°caso--> x>0)Indichiamo con A il codominio della funzione 2^x,con x intero,e con B l'insieme dei numeri naturali pari.Si verifica che A è sottoinsieme proprio di B.
Indichiamo inoltre con C il codominio della funzione 2(x+2)/(4-x),sempre con x intero.
Disegnando i 3 insiemi con i diagrammi di Eulero-Venn si verifica che l'intersezione A-C è contenuta dall'intersezione B-C e che quindi le soluzioni che verificano l'equazione:
2^x(4-x)=2(x+2)
verificano anche l'equazione:
2x(4-x)=2(x+2)
Risolvendo quest'ultima equazione si ottengono 2 valori di x entrambi accettabili,nn solo perchè sono interi positivi(naturali) ma anche perchè verificano l'equazione:
2^x(4-x)=2(x+2)
Questi valori di x sono 1 e 2
2°caso-->x=0 Questa soluzione è accettabile in quanto annulla il polinomio 2^x(4-x)=2(x+2)
3°caso-->x<0 Si fanno le stesse conderazioni di prima con i 3 insiemi:
A->codominio della funzione 2^x(sempre con x intero)
B->l'insieme dei numeri razionali reciproci dei numeri pari e quindi della forma 1/2x
C->il codominio della funzione 2(x+2)/(4-x),sempre con x intero
Le soluzioni che verificano l'equazione esponenziale (essendo l'intersezione A-B contenuta in quella A-C)si ottengono risolvendo l'equazione:
1/2x (4-x)=2(x+2)
ma svolgendo i calcoli si arriva al polinomio:
4x^2+9x-4=0
che ha radici nn intere.
Ricapitolando le soluzioni intere sono 3:
x=1,2,0
Mi dispiace nn poter inserire simboli numerici e grafici di Eulero-Venn che aiuterebbero molto a visuarizzare la soluzione...
Francamente nn so se questo problema possa essere risolvibile con logaritmi(che io nn ho studiato);ad ogni modo qua presento una dimostrazione originale che presuppone una buona conoscenza degli insiemi(che io ho studiato in 1°liceo):
Si considerino i 3 casi distinti:
1°caso--> x>0)Indichiamo con A il codominio della funzione 2^x,con x intero,e con B l'insieme dei numeri naturali pari.Si verifica che A è sottoinsieme proprio di B.
Indichiamo inoltre con C il codominio della funzione 2(x+2)/(4-x),sempre con x intero.
Disegnando i 3 insiemi con i diagrammi di Eulero-Venn si verifica che l'intersezione A-C è contenuta dall'intersezione B-C e che quindi le soluzioni che verificano l'equazione:
2^x(4-x)=2(x+2)
verificano anche l'equazione:
2x(4-x)=2(x+2)
Risolvendo quest'ultima equazione si ottengono 2 valori di x entrambi accettabili,nn solo perchè sono interi positivi(naturali) ma anche perchè verificano l'equazione:
2^x(4-x)=2(x+2)
Questi valori di x sono 1 e 2
2°caso-->x=0 Questa soluzione è accettabile in quanto annulla il polinomio 2^x(4-x)=2(x+2)
3°caso-->x<0 Si fanno le stesse conderazioni di prima con i 3 insiemi:
A->codominio della funzione 2^x(sempre con x intero)
B->l'insieme dei numeri razionali reciproci dei numeri pari e quindi della forma 1/2x
C->il codominio della funzione 2(x+2)/(4-x),sempre con x intero
Le soluzioni che verificano l'equazione esponenziale (essendo l'intersezione A-B contenuta in quella A-C)si ottengono risolvendo l'equazione:
1/2x (4-x)=2(x+2)
ma svolgendo i calcoli si arriva al polinomio:
4x^2+9x-4=0
che ha radici nn intere.
Ricapitolando le soluzioni intere sono 3:
x=1,2,0
Mi dispiace nn poter inserire simboli numerici e grafici di Eulero-Venn che aiuterebbero molto a visuarizzare la soluzione...
Ecco, ho cancellato il mio post.
Altro che genio, come dice Chiaretta...
[:D][:D] Non sono proprio portato per la Matematica, sono un buffone [:D][:D]
Complimenti ancora una volta denn per la tua soluzione: veramente originale
il fatto che tu abbia utilizzato gli insiemi, sfruttando al massimo le tue
conoscenze su di essi. Impeccabile come sempre, a differenza del sottoscritto
che continua a sbagliare, perseverando in ragionamenti fallaci e infondati...
Altro che genio, come dice Chiaretta...
[:D][:D] Non sono proprio portato per la Matematica, sono un buffone [:D][:D]
Complimenti ancora una volta denn per la tua soluzione: veramente originale
il fatto che tu abbia utilizzato gli insiemi, sfruttando al massimo le tue
conoscenze su di essi. Impeccabile come sempre, a differenza del sottoscritto
che continua a sbagliare, perseverando in ragionamenti fallaci e infondati...
A proposito...quando si potrà avere una lista di simboli matematici anzichè queste emoticom orrende?
Se nn ti vuoi inscrivere in matematica allora inscriviti in fisica!La matematica come si studia al liceo è orrenda
Risulta 2^x=(2x+4)/(4-x);
poiche' in R e' sempre 2^x>0 ne segue :
(2x+4)/(4-x)>0 da cui -2
bastera' provare per x=-1,0,1,2,3.
Se ne ricava appunto che solo 0,1,2 sono le radici
intere richieste.
N.B.
Per soluzioni intere non s'intendono solo
quelle positive!
Quindi,a priori ,non si possono scartare i valori
interi negativi (anche se poi ,alla fine,soluzioni di
questo tipo non esistono).
karl.
poiche' in R e' sempre 2^x>0 ne segue :
(2x+4)/(4-x)>0 da cui -2
bastera' provare per x=-1,0,1,2,3.
Se ne ricava appunto che solo 0,1,2 sono le radici
intere richieste.
N.B.
Per soluzioni intere non s'intendono solo
quelle positive!
Quindi,a priori ,non si possono scartare i valori
interi negativi (anche se poi ,alla fine,soluzioni di
questo tipo non esistono).
karl.
No, io all'Università voglio fare Matematica! Cos'hai capito?
Naturalmente nel precedente post ho scherzato: mi fa ridere
che hai sempre qualcosa da obiettarmi quando posto un messaggio [;)]
Per quanto riguarda i simboli matematici, essi non possono
essere inseriti nel forum; nella versione precedente del forum
era possibile inserire questi simboli; nella versione attuale
c'è qualche problema che impedisce la visualizzazione corretta dei
simboli matematici, e viene fuori un casino: quindi siccome
funzionano male e non si vedono per niente, tanto vale ripristinare
le emoticons come erano prima.
Non c'è altra soluzione: per inserire delle formule matematiche
in modo decente nel forum occorre scriverle in MathType
e poi linkarle nei post come immagini. E poi c'è pure il codice ASCII che può aiutare...
Naturalmente nel precedente post ho scherzato: mi fa ridere
che hai sempre qualcosa da obiettarmi quando posto un messaggio [;)]
Per quanto riguarda i simboli matematici, essi non possono
essere inseriti nel forum; nella versione precedente del forum
era possibile inserire questi simboli; nella versione attuale
c'è qualche problema che impedisce la visualizzazione corretta dei
simboli matematici, e viene fuori un casino: quindi siccome
funzionano male e non si vedono per niente, tanto vale ripristinare
le emoticons come erano prima.
Non c'è altra soluzione: per inserire delle formule matematiche
in modo decente nel forum occorre scriverle in MathType
e poi linkarle nei post come immagini. E poi c'è pure il codice ASCII che può aiutare...
Per Karl:
1)La limitazione è implicta all'equazione esponenziale,ciò significa che verificando numericamente i valori ottenuti (1,2,0) è come se rispettassi la limitazione.La tua è un'ulteriore osservazione ma nn cambia il problema...
2)io nn ho scartato i numeri interi negativi!Guarda il 3°caso:x<0
1)La limitazione è implicta all'equazione esponenziale,ciò significa che verificando numericamente i valori ottenuti (1,2,0) è come se rispettassi la limitazione.La tua è un'ulteriore osservazione ma nn cambia il problema...
2)io nn ho scartato i numeri interi negativi!Guarda il 3°caso:x<0
MA...quello che ha da obbiettare è karl[:D]!!!
Mi pare di aver sentito in qualche topic che vuoi fare matematica applicata?di che si tratta?
Per il caso x<0 sono d'accordo:la mia era solo una
precisazione.
Per quanto riguarda l'altra considerazione
la limitazione, implicita o meno che sia,deve essere
fatta ed e' proprio quella che occorre per trovare
le soluzioni intere richieste.
Insomma la mia non e' una semplice considerazione
ma e' la soluzione (tra l'altro non mia ma
scelta come la migliore tra quelle presentate ad un
concorso canadese tipo "olimpiade della matematica")
Siamo alle solite purtroppo:piu' un problema e' semplice
piu' c'e' qualcuno capace di complicarlo scrivendo in
ben 30 righe cio' che poteva essere fatto in 7!
karl.
precisazione.
Per quanto riguarda l'altra considerazione
la limitazione, implicita o meno che sia,deve essere
fatta ed e' proprio quella che occorre per trovare
le soluzioni intere richieste.
Insomma la mia non e' una semplice considerazione
ma e' la soluzione (tra l'altro non mia ma
scelta come la migliore tra quelle presentate ad un
concorso canadese tipo "olimpiade della matematica")
Siamo alle solite purtroppo:piu' un problema e' semplice
piu' c'e' qualcuno capace di complicarlo scrivendo in
ben 30 righe cio' che poteva essere fatto in 7!
karl.
Karl
La tua nn era una precisazione.Tu hai detto chiaramente che io nn avevo considerato le radici negativi cosa che io ho fatto.Ciò mi fa pensare che tu,del topic che ho scritto te ne 6 fregato altamente,e pure interpretando male hai cercato di mettermi davanti a delle piccole e ridicole contraddizioni che neanche esistono...Forse tutto è inziato da quanto abbiamo avuto quella discussione con la condizione di realtà,ma il punto è che TU, nn acceti pareri altrui,li consideri sbagliati e sostieni che il tuo metodo è migliore solo perchè è + sintetico.Hai cercato di sviare la conversazione della condizione di realtà,dando la colpa a me solo perchè avevo detto che la conversazione con fire era sterile;hai detto ,quando ti ho mostrato il 2°procedimento sulle 2 equazioni di 3°grado,che quella di Thomas era QUELLA giusta,come se fosse l'unica via.Insomma hai sempre cercato di superare in brevità con "scorciatoie" le mie dimostrazioni,come se la matematica fosse una gara per brevità,:
è vero che il mio metodo è di 30 righe,è ciò che significa?Forse ho utilizzato aspetti interessanti come gli insiemi che per te nn dovevano essere utilizzati?
Cmq nn ti preoccupare,questa sarà l'ultima volta,ma veramente l'ultima volta che risponderò ad un tuo topic e mi sorbirò le tue continue polemiche.
PS.Già che sai come risolverli xkè li posti?
La tua nn era una precisazione.Tu hai detto chiaramente che io nn avevo considerato le radici negativi cosa che io ho fatto.Ciò mi fa pensare che tu,del topic che ho scritto te ne 6 fregato altamente,e pure interpretando male hai cercato di mettermi davanti a delle piccole e ridicole contraddizioni che neanche esistono...Forse tutto è inziato da quanto abbiamo avuto quella discussione con la condizione di realtà,ma il punto è che TU, nn acceti pareri altrui,li consideri sbagliati e sostieni che il tuo metodo è migliore solo perchè è + sintetico.Hai cercato di sviare la conversazione della condizione di realtà,dando la colpa a me solo perchè avevo detto che la conversazione con fire era sterile;hai detto ,quando ti ho mostrato il 2°procedimento sulle 2 equazioni di 3°grado,che quella di Thomas era QUELLA giusta,come se fosse l'unica via.Insomma hai sempre cercato di superare in brevità con "scorciatoie" le mie dimostrazioni,come se la matematica fosse una gara per brevità,:
è vero che il mio metodo è di 30 righe,è ciò che significa?Forse ho utilizzato aspetti interessanti come gli insiemi che per te nn dovevano essere utilizzati?
Cmq nn ti preoccupare,questa sarà l'ultima volta,ma veramente l'ultima volta che risponderò ad un tuo topic e mi sorbirò le tue continue polemiche.
PS.Già che sai come risolverli xkè li posti?
Per denn.
Ecco cosa vorrei fare: laurea triennale in Matematica + laurea
specialistica in Matematica Applicata (indirizzo Informatico).
Ecco cosa vorrei fare: laurea triennale in Matematica + laurea
specialistica in Matematica Applicata (indirizzo Informatico).
Karl posta i quesiti per testare le conoscenze di Matematica
dei ragazzi di scuola superiore, almeno credo.
dei ragazzi di scuola superiore, almeno credo.
testare o provocare?
Non te la prendere denn:sul forum puo'
succedere di avere torto.Questa volta e'
toccato a te.
A proposito ,ho messo un altro post:se
t'impegni ce la puoi fare ...in una
ottantina di righe!
Ma se ce la fai con meno avrai la mia piu'
profonda riconoscenza.
karl.
succedere di avere torto.Questa volta e'
toccato a te.
A proposito ,ho messo un altro post:se
t'impegni ce la puoi fare ...in una
ottantina di righe!
Ma se ce la fai con meno avrai la mia piu'
profonda riconoscenza.
karl.
Avere torto?Ma se nei miei ragionamenti nn c'era uno straccio di sbaglio.Gli sbagli li commettevi tu quando cercavi di dire cose che nn hanno ne' testa ne piedi.Quando hai detto che nn avevo considerato le radici negative dicevi tanto per dire qualcosa?E quando ho usato uno "pseudo" limite dicevi che nn era roba del biennio.La cosa è che sai di avere torto e hai pure la presunzione di sostenere che le persone hanno sbagliato.Francamente nn mi importa(dovrei usare un'altro verbo)se tu hai fatto l'università e ti diverti con questi quesiti,che sn di liceo,mi importa invece che cerci sempre di avere ragione anke con le scuse + meschine perchè andando così avanti nella vita nn troverai che guai...Bene divertiti!
Parafrasando uno slogan sindacale (si ,proprio di quei
sindacati che domani per non far cadere il Paese,
cosi' affermano,gli danno un'altra spallata)
dico che " la lotta dura non mi fa paura" .
Naturalmente sto celiando e sono pronto a riconoscere
i tuoi meriti:sei un ragazzo in gamba.
karl
sindacati che domani per non far cadere il Paese,
cosi' affermano,gli danno un'altra spallata)
dico che " la lotta dura non mi fa paura" .
Naturalmente sto celiando e sono pronto a riconoscere
i tuoi meriti:sei un ragazzo in gamba.
karl
Ok...raramente scrivo in simili discussioni ma in fondo un filo ci sono anch'io dentro. Per quanto mi riguarda, credo che le soluzioni semplici siano sempre le migliori...ciononostante qualsiasi soluzione si deve considerare corretta e merita esattamente lo stesso rispetto delle altre come del resto avviene in una qualsiasi gara (almeno credo, dato che nn vi partecipo!). Poi sarà al max l'autore ad accorgersi che "poteva fare meglio". Per finire, una soluzione arzigogolata di un problema semplice può dare qualche idea o servire da esercizio tecnico per problemi più complicati...
esplicito per karl: ti ricordi tempo fà quando tu avevi proposto una soluzione analitica di un problema di geometria ed io la avevo scartata come 'calcolosa'?...beh: mi pare che te la fossi un pò presa...
esplicito per karl: ti ricordi tempo fà quando tu avevi proposto una soluzione analitica di un problema di geometria ed io la avevo scartata come 'calcolosa'?...beh: mi pare che te la fossi un pò presa...
Per Thomas .
Guarda che stavolta non sono stato io a prendermela
per una soluzione ritenuta "calcolosa".
Ma ormai e' acqua passata!
karl.
Guarda che stavolta non sono stato io a prendermela
per una soluzione ritenuta "calcolosa".
Ma ormai e' acqua passata!
karl.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo