Una dimostrazione per l'asintoto obliquo
Salve a tutti, poco fa cercando qualche esercizio da fare sul libro per allenarmi ne ho trovato uno che non mi riesce...si tratta di una dimostrazione
Data y=f(x) tale che il limite per x che tende a infinito di f(x) sia infinito
dimostrare che la condizione necessaria affinché la funzione ammetta l 'asintoto obliquo per x tendente a infinito e' che l'ordine di infinito sia uguale a 1...
Non capisco in che senso l'ordine d'infinito deve essere uguale a 1,:| si tratta mica del grado della x? Perché se non capisco qluello che devo dimostrare non so nemmeno da dove partire
)
Data y=f(x) tale che il limite per x che tende a infinito di f(x) sia infinito
dimostrare che la condizione necessaria affinché la funzione ammetta l 'asintoto obliquo per x tendente a infinito e' che l'ordine di infinito sia uguale a 1...
Non capisco in che senso l'ordine d'infinito deve essere uguale a 1,:| si tratta mica del grado della x? Perché se non capisco qluello che devo dimostrare non so nemmeno da dove partire
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Risposte
L'ordine di infinito è $n$ se $lim_(x-> oo) (f(x))/x^n = k$ con $k $ numero finito $!=0$
Se e cosi la dimostrazione si fa subito perchè se n = 1 otteniamo proprio la condizione per avere m, coefficiente angolare dell'asintoto obliquo che e'una condizione necessaria ma non sufficiente ...dico bene o cosi e' troppo scontato
dici bene
E se n fosse maggiore di 1 che cosa succederebbe? Il limite darebbe come risultato 0? E se fosse minore di 1 darebbe come risultato infinito?
Non ho capito la tua domanda.
Di solito per individuare l'ordine di $oo$ si scrive $lim_(x->oo) (f(x))/x^n$ e si vede per quali valori di n il limite viene finito e diverso da 0.
Se la funzione fosse $f(x)=x^3/(x+1)$ il suo ordine di infinito sarebbe 2, se fosse $f(x)=x/sqrt(x+1)$ l'ordine di infinito sarebbe $1/2$.
Di solito per individuare l'ordine di $oo$ si scrive $lim_(x->oo) (f(x))/x^n$ e si vede per quali valori di n il limite viene finito e diverso da 0.
Se la funzione fosse $f(x)=x^3/(x+1)$ il suo ordine di infinito sarebbe 2, se fosse $f(x)=x/sqrt(x+1)$ l'ordine di infinito sarebbe $1/2$.
"login":
E se n fosse maggiore di 1 che cosa succederebbe? Il limite darebbe come risultato 0? E se fosse minore di 1 darebbe come risultato infinito?
Forse ho capito cosa vuoi chiedere,
e se è come ho inteso la domanda mi sembra molto pertinente:
se la f(x) avesse ordine d'infinito $alpha$,e $alpha!=1$
(è un pò più opportuno usare $alpha$ al posto di n,il quale è generalmente inteso come numero naturale,
perchè come t'ha fatto notare @melia non è detto che l'ordine d'infinito d'una funzione$inNN$..),
cadrebbe la condizione necessaria e non ci potrebbero dunque essere asintoti obliqui.
Saluti dal web.
Grazie ad entrambi adesso cerco di spiegarmi meglio e andare subito al dunque
Questa questione degli ordini di infinito mi ha fatto venire in mente un esercizio che forse non so fare per la stessa ragione del primo...se per esempio ho y=sinx / x^k e voglio discutere la continuità di tale funzione al variare di k nel punto x= 0 devo usare sempre gli ordini di infinito? Perche se k=1 la fx ha una discontinuità eliminabile ma se k>1 o k< 1?
Mi sembrava che questo esercizio c'entrasse con gli ordini di infinito probabilmente avrei dovuto chiamare il topic cosi visto che il problema di fondo sembra essere questo a meno che non sono andata completamente fuori tema e ho confuso le cose
Questa questione degli ordini di infinito mi ha fatto venire in mente un esercizio che forse non so fare per la stessa ragione del primo...se per esempio ho y=sinx / x^k e voglio discutere la continuità di tale funzione al variare di k nel punto x= 0 devo usare sempre gli ordini di infinito? Perche se k=1 la fx ha una discontinuità eliminabile ma se k>1 o k< 1?
Mi sembrava che questo esercizio c'entrasse con gli ordini di infinito probabilmente avrei dovuto chiamare il topic cosi visto che il problema di fondo sembra essere questo a meno che non sono andata completamente fuori tema e ho confuso le cose
Beh:
se $k>1hArrk-1>0$,allora $EElim_(xto0)|(senx)/(x^k)|=lim_(xto0)|1/(x^(k-1))||(senx)/x|=cdots=+oorArrEElim_(xto0)(x^k)/(senx)=0$,
mentre se $k<1hArr1-k<0$ potrai dimostrare in modo analogo che $EElim_(xto0)(senx)/(x^k)=0$.
In altre parole,se una funzione è infinitesima d'ordine k in un punto c,
allora la sua variabile dipendente y "andrà più velocemente verso zero" d'ogni espressione del tipo $(x-c)^h$ con h
(in tal caso c=0,naturalmente),
e se darò ad x valori di $A={1/2,1/4,cdots,1/10cdots}$ otterrò valori di f(x) molto più "vicini" allo zero di quelli che otterrei sostituendoi valori di A in $g(x)=x^2$.
Invece la y "andrà più lentamente verso zero" d'ogni espressione,chiaramente essa stessa infinitesima,
del tipo $(x-c)^h$ con h>k;
diciamo che l'ordine d'una funzione infinitesima misura la "velocità" con la quale s'avvicina a 0 la sua variabile dipendente,
confrontandola con quella d'un "avversario standard" della forma $(x-c)^h$:
sugli ordini d'infinito il ragionamento è analogo
(e nasce dalle proprietà dei limiti come quello appena concluso..),
ma per motivi che puoi provare a capire da solo le conclusioni vanno scambiate.
Saluti dal web.
se $k>1hArrk-1>0$,allora $EElim_(xto0)|(senx)/(x^k)|=lim_(xto0)|1/(x^(k-1))||(senx)/x|=cdots=+oorArrEElim_(xto0)(x^k)/(senx)=0$,
mentre se $k<1hArr1-k<0$ potrai dimostrare in modo analogo che $EElim_(xto0)(senx)/(x^k)=0$.
In altre parole,se una funzione è infinitesima d'ordine k in un punto c,
allora la sua variabile dipendente y "andrà più velocemente verso zero" d'ogni espressione del tipo $(x-c)^h$ con h
(in tal caso c=0,naturalmente),
e se darò ad x valori di $A={1/2,1/4,cdots,1/10cdots}$ otterrò valori di f(x) molto più "vicini" allo zero di quelli che otterrei sostituendoi valori di A in $g(x)=x^2$.
Invece la y "andrà più lentamente verso zero" d'ogni espressione,chiaramente essa stessa infinitesima,
del tipo $(x-c)^h$ con h>k;
diciamo che l'ordine d'una funzione infinitesima misura la "velocità" con la quale s'avvicina a 0 la sua variabile dipendente,
confrontandola con quella d'un "avversario standard" della forma $(x-c)^h$:
sugli ordini d'infinito il ragionamento è analogo
(e nasce dalle proprietà dei limiti come quello appena concluso..),
ma per motivi che puoi provare a capire da solo le conclusioni vanno scambiate.
Saluti dal web.
Non mi trovo con la seconda disuguaglianza se k<1 allora 1-k>0 non viceversa e non ho capito che c'entra il va
Lorenzo assoluto....
Lorenzo assoluto....
Ciao!
Il valore assoluto c'entra perchè,non essendo specificato nel limite se x tende a 0 da dx o da sx,
non potrai dire che $1/(x^(k-1))$ ammette limite,
in quanto i limiti quando x tende a $0^+$ e $0^-$ sono,rispettivamente,$+oo$ e $-oo$
(e dunque diversi tra loro..);
in compenso $|1/(x^(k-1))|$ tende di certo a $+oo$
(in casi del genere si dice che la funzione è "infinitamente grande",
ma come hai appena visto ciò non significa dire che ammette necessariamente limite nell'intorno completo d'un punto cui tende la x..),
e dunque pure $|1/(x^(k-1))||(senx)/x|$ tenderà a $+oo$
(saprai infatti che il secondo fattore tende a |1|=1,per x tendente a 0 in un intorno completo..):
ma dato che,
se in un intorno completo d'un punto una funzione è infinitamente grande allora in quello stesso intorno la sua reciproca tende a 0
(forse tu hai visto scritto questo fatto nella forma mnemonicamente utile $1/oo=0$..),
quando invertirai potrai togliere legitimamente il valore assoluto ed otterrai appunto come,qualunque sia il tuo k>1,
si abbia che $EElim_(x->0)(x^k)/(senx)=0$.
La tua prima osservazione è,invece,ovviamente corretta:
si tratta chiaramente d'un mio errore di battitura,del quale mi spiacerebbe se t'avesse confuso o fatto perder tempo,
seguito da una conclusione giusta che spero ti sia più chiara se ti faccio osservare che $EElim_(x->0)(senx)/(x^k)=lim_(x->0)x^(1-k)(senx)/x$..
Ora che riguardo meglio il post,comunque,noto che il probleme dell'intorno completo non si pone poichè,
per evitare di finire fuori da $RR$ per qualche valore "sfortunato" di k,la x è vincolata a tendere a 0 per valori positivi
(ma tieni comuque conto che quel ragionamento,quando possibile,và fatto per intorni completi):
spero d'esser stato più chiaro,ora.
In gamba,e buono studio:
saluti dal web.
Il valore assoluto c'entra perchè,non essendo specificato nel limite se x tende a 0 da dx o da sx,
non potrai dire che $1/(x^(k-1))$ ammette limite,
in quanto i limiti quando x tende a $0^+$ e $0^-$ sono,rispettivamente,$+oo$ e $-oo$
(e dunque diversi tra loro..);
in compenso $|1/(x^(k-1))|$ tende di certo a $+oo$
(in casi del genere si dice che la funzione è "infinitamente grande",
ma come hai appena visto ciò non significa dire che ammette necessariamente limite nell'intorno completo d'un punto cui tende la x..),
e dunque pure $|1/(x^(k-1))||(senx)/x|$ tenderà a $+oo$
(saprai infatti che il secondo fattore tende a |1|=1,per x tendente a 0 in un intorno completo..):
ma dato che,
se in un intorno completo d'un punto una funzione è infinitamente grande allora in quello stesso intorno la sua reciproca tende a 0
(forse tu hai visto scritto questo fatto nella forma mnemonicamente utile $1/oo=0$..),
quando invertirai potrai togliere legitimamente il valore assoluto ed otterrai appunto come,qualunque sia il tuo k>1,
si abbia che $EElim_(x->0)(x^k)/(senx)=0$.
La tua prima osservazione è,invece,ovviamente corretta:
si tratta chiaramente d'un mio errore di battitura,del quale mi spiacerebbe se t'avesse confuso o fatto perder tempo,
seguito da una conclusione giusta che spero ti sia più chiara se ti faccio osservare che $EElim_(x->0)(senx)/(x^k)=lim_(x->0)x^(1-k)(senx)/x$..
Ora che riguardo meglio il post,comunque,noto che il probleme dell'intorno completo non si pone poichè,
per evitare di finire fuori da $RR$ per qualche valore "sfortunato" di k,la x è vincolata a tendere a 0 per valori positivi
(ma tieni comuque conto che quel ragionamento,quando possibile,và fatto per intorni completi):
spero d'esser stato più chiaro,ora.
In gamba,e buono studio:
saluti dal web.
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